收敛数列

1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}=2$ ．

1．设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：$\displaystyle A=0$ ．

2．设 $\displaystyle a_{n} \geqslant 0(n=1,2,3, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ 。

3．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ），则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ）．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n+\sqrt{n}}=a$ ．
（3）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} x_{n}=a$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（5）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（6）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负且单调递减， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=b$ ．
（7）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正实数列，$\displaystyle s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}, r_{n}=\frac{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}$ 均存在。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} \geqslant 1$ ．

4．证明下列结论或求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n}=a b$ 。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{2 n}+x_{3} y_{2 n-2}+\cdots+x_{2 n-1} y_{2}}{n}$ 。

4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right),|x|<1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}$ ．

5．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$（几何平均值收敛公式）．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

6．证明：若 $\displaystyle x_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ ；
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．

7．设 $\displaystyle a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1$（或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=l>1$ ），证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 。

8．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．

9．设 $\displaystyle a>0, a_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4+\frac{1}{2 n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n+b} .(b=2$ ：南京航空 2011；$\displaystyle b=1:$ 山东大学，计量学院 2009）
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{k}+k^{n}} .(k=2$ ：山西师大 2008 ；$\displaystyle k=3$ ：哈师大 2008）

9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，则存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} f\left(x_{n}\right)=0$ ．

10．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}, a_{k}>0, k=1,2, \cdots, m$ ．

特例：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b>0$ ．（南京大学 2009／2003（ $\displaystyle b=1$ ），华东师大 2006，暨南大学 2010，苏州大学 2005，扬州大学 2005，南京理工 2001；$\displaystyle b=1$ ：南京师大 2000 ，四川师大 2013，陕西师大 2005 ，北京大学 1999／1998；$\displaystyle b=2006, a=2005$ ：兰州大学 2006）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b, c>0$ ．（中科院 2000／2003，辽宁大学 2004／2005，扬州大学 2005，湘潭大学2009，哈师大 2006（ $\displaystyle a=1, b=2, c=3$ ），山东大学 2002（ $\displaystyle a=3, b=5, c=7$ ））
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}$ ．

11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．．苏州大学 2012，华中师大 04 ，辽宁大学 2007，青岛理工 2010，安徽大学 2006，华中科技 2008）
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2006}}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n}$ ．

12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$\displaystyle a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。

12．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 对任何 $\displaystyle x \in(0,2 \pi)$都收敛．（东华大学 2005（ $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, x=1$ ），东南大学 $\displaystyle 1996\left(a_{n}=\frac{1}{\ln n}, x=1\right)$ ，浙江师大 2013（ $\displaystyle \left.a_{n}=\frac{1}{n^{p}}, x=1\right)$ ，复旦大学 1997

13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{3}{n^{2}+3}+\cdots+\frac{2 n-1}{n^{2}+2 n-1}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\frac{1}{n+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{k}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+\frac{1}{n}}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3}+2 n+k}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+1}+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+n}\right)$ ．

16．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有定义。试证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是对区间 $\displaystyle I$上任意的两数列 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle I$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列（即当 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 序列时，$\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列）。
（3）（I）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ．
（II）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续，证明存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ．
（4）若对于 $\displaystyle f(x)$ 定义域 $\displaystyle (a, b)$ 中任一收敛数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 连续，$\displaystyle f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ ，且对任意数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ ，数列 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 都收敛且极限不为零，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$ ；（2）存在 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle \left|\frac{1}{f(x)}\right| \leqslant C$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在．若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续，结论还成立吗？

16．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 的玫散性．
（4）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收玫 $\displaystyle \left(a_{n}>0\right)$ 。

18．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 有界，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫．（曲阜师大 2005／2011（ $\displaystyle k=2$ ），桂林电子科技 2009）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|n a_{n}\right|=a(>0)$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。能否确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性？说明理由．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是数项级数，证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0,\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛，试问若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收

敛，结论仍成立吗？

19．证明或求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．

20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<\lambda<1, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+\lambda a_{n-1}+\lambda^{2} a_{n-2}+\cdots+\lambda^{n} a_{0}\right)=\frac{a}{1-\lambda}$ 。
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+2 a_{n-1}+\cdots+(n-1) a_{2}+n a_{1}\right)=A$ ．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫级数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ 。
（4）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ 存在，并求之．
（5）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n}}{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n-1}}{2 n-1}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}$ ．

20．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle r_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} a_{k}$ ，求证下列结论：（1）$\displaystyle \left\{r_{n}\right\}$ 单调减少并趋于 0 ； （2）$\displaystyle \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}} \leqslant 2\left(\sqrt{r_{n}}-\sqrt{r_{n+1}}\right)$ ；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}}$ 收敛；（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{r_{n}}$ 发散．

22．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调增加且有界的，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \neq 0$ 。（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n+1}\right|$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right|$ 同敛散；（2）$\displaystyle l=1$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 的敛散性（给出证明）．
（3）设 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant 1, n \geqslant 1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right|, n \geqslant 2$ 。证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛；数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

23．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ ．（中山大学 $\displaystyle 2011(a>0)$ ，温州大学 2012，武汉大学 2004，湖北大学 2011，重庆大学2004（a $\displaystyle >1$ ））
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}\right)$ ．

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续函数，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x)$ 递减地趋于 0 ，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（北京化工 2007，广西大学2008（充分条件），广西师大 2001，江苏大学 2008，北京大学）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ ，积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。哈工大 2000）
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续可微，且 $\displaystyle g(x)$ 有界，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。深圳大学 2012）

28．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}, n \geqslant 1$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{1}>a>0, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 a x_{n}+2 a^{2}}, n \geqslant 1$ ，求其极限．
（3）设 $\displaystyle a>1,0<x_{1}<a, x_{n+1}=a-\sqrt{a^{2}-x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}\left(3-x_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1,2 y_{n+1}=y_{n}+\sqrt{y_{n}^{2}+a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是递增的收敛数列．（福建师大，湖南大学2007（ $\displaystyle a_{n}=n^{-p}, p>1$ ））
（6）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1, y_{n+1}=\sqrt{y_{n}\left(y_{n}+a_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（8）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{3+2 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（9）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（10）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}, n \geqslant 2$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限，并求之．

32．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限 $\displaystyle L$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x)=L$ ．
（2）设数列 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) f(x)=a$ ；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=a$ ．

34．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}, n=3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right), n=2,3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{3}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<\alpha<1,\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\alpha x_{n}+(1-\alpha) x_{n-1}, n=3,4, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是收敛的，用 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 表示 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, 0<a<b, x_{n+1}=\sqrt{x_{n} x_{n-1}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$.

34．讨论下列问题．
（1）设反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收玫？．
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收敛？若收敛，请证明之；若不一定收敛，请举出反例．
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，并有 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。这一结论是否成立？（若成立，需给出证明；若认为不一定成立，需给出反例）。西安交大 1997）

35．叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之．（北京大学 2014（用致密性定理证明），中山大学 2013，浙江大学 2003，安徽大学 2002，北京科技 2012）

36．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。

37．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geq 1)$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛于 $\displaystyle \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ．
（2）设 $\displaystyle b_{1}>a_{1}>0, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}, a_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geqslant 2)$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n \geqslant 1)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。

39．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{1-\frac{1}{n}}$ 收玫．

41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 是两个非负无穷数列，$\displaystyle x_{n+1} \leqslant x_{n}+a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为非负数列，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}+\frac{1}{n^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是正数列，对所有自然数 $\displaystyle m, n$ 成立 $\displaystyle x_{n+m} \leqslant x_{n}+x_{m},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,\left(1-x_{n+1}\right) x_{n}>\frac{1}{4},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ 。

41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．

43．证明下列命题．
（1）数列 $\displaystyle \{\sin n\}$ 发散．
（2）叙述数列 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[0,+\infty)$ 发散的定义，并证明数列 $\displaystyle \{\cos n\}$ 发散．
（3）从定义出发证明数列 $\displaystyle \left\{(-1)^{n}\right\}$ 的极限不存在。福建师大 2004）
（4）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，$\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 是 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的某一子列且 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{1}}=a$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。
（5）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 无界，但非无穷大量，则存在两个子数列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}^{(1)}\right\},\left\{a_{n_{k}}^{(2)}\right\}$ 使得 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}^{(1)}\right\}$ 是无穷大量，$\displaystyle \left\{a_{n_{i}}^{(2)}\right\}$ 为收敛子列。又问，当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是有界发散数列时，能有何结论？
（6）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不是无穷大量，则它一定存在收敛子列。
（7）对数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 的充要条件为 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} a_{2 k}=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{2 k+1}=a$ ．
（8）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，$\displaystyle a=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 。证明： $\displaystyle \inf \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \sup \left\{a_{n}\right\}$ 中至少有一个属于 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 。北京交大 2008，青岛科技 2009 ，曲阜师大 2006 ，上海交大 2005）
（9）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的任一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{n}}\right\}$ 都存在且收敛于 $\displaystyle a$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle a$ ．

43．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle a_{0}=a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geqslant 3$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫．
（2）判别级数 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\cdots$ 的玫散性．
（3）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x_{3}=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}, \cdots$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．
（4）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$ ，判别级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{3-x_{n}}$ 的敛散性．

44．判断题．
（1）单调序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 中有一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 收敛，则序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．