数列极限的ε-N定义

1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}=2$ ．

1．证明下列级数收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．

2．设 $\displaystyle a_{n} \geqslant 0(n=1,2,3, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ 。

3．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=A$ ．求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)=A$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3 x)-f(x)}{x}=A$ 。求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2} A$ ．
（3）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0, \lambda>1$ 且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x / \lambda)}{x}=0$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
（4）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：若存在 $\displaystyle \alpha>0, \beta>0, \alpha>\beta$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}=c(c \in \mathbf{R}$ 为常数），则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的右导数存在．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可微，$\displaystyle \alpha_{n}<x_{0}<\beta_{n},(n=1,2, \cdots), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\beta_{n}\right)-f\left(\alpha_{n}\right)}{\beta_{n}-\alpha_{n}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$. ．

6．证明：若 $\displaystyle x_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ ；
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．

7．讨论下列级数的玫散性，
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ．（北京交大 2000，上海师大 2001，中山大学 2012（ $\displaystyle a=-\mathrm{e}$ ），北京科技 2007 $\displaystyle (a=\mathrm{e})$ ；$\displaystyle a=2$ ；湖南农大 2010，哈尔滨师大 2004；$\displaystyle a=1$ ：宁波大学 2004；$\displaystyle a=3$ ：桂林电子科技 2008，曲阜师大 2008）

8．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．

32．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面上有界，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<n^{2}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f^{\prime}(u)=A>0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x, y \geqslant 0\right\}$ ， $\displaystyle R>0$ ．（1）证明： $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f(u)=+\infty$ ；（2）求 $\displaystyle I_{R}=\iint_{D} f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；（3）求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{I_{R}}{R^{2}}$ ．（西北大学 2013，南开大
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D}\left|f^{n}(x, y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

36．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow \infty} \oint_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\delta}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \oint_{x^{2}+x y+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}$ ．（吉林师大 2003，浙江大学 2015（ $\displaystyle \left.\alpha=1\right) / 1984$ ）

37．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 为在光滑曲线段 $\displaystyle C$ 上连续的函数，求证：$\displaystyle \left|\int_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y\right| \leqslant L M$ 。其中 $\displaystyle L$为积分曲线 $\displaystyle C$ 的长度，$\displaystyle M=\max _{(x, y) \in C} \sqrt{P^{2}+Q^{2}}$ ．并由此求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}}$ ．

分析：运用柯西－施瓦茨不等式．

41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 是两个非负无穷数列，$\displaystyle x_{n+1} \leqslant x_{n}+a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为非负数列，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}+\frac{1}{n^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是正数列，对所有自然数 $\displaystyle m, n$ 成立 $\displaystyle x_{n+m} \leqslant x_{n}+x_{m},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,\left(1-x_{n+1}\right) x_{n}>\frac{1}{4},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ 。

43．证明下列命题．
（1）数列 $\displaystyle \{\sin n\}$ 发散．
（2）叙述数列 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[0,+\infty)$ 发散的定义，并证明数列 $\displaystyle \{\cos n\}$ 发散．
（3）从定义出发证明数列 $\displaystyle \left\{(-1)^{n}\right\}$ 的极限不存在。福建师大 2004）
（4）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，$\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 是 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的某一子列且 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{1}}=a$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。
（5）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 无界，但非无穷大量，则存在两个子数列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}^{(1)}\right\},\left\{a_{n_{k}}^{(2)}\right\}$ 使得 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}^{(1)}\right\}$ 是无穷大量，$\displaystyle \left\{a_{n_{i}}^{(2)}\right\}$ 为收敛子列。又问，当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是有界发散数列时，能有何结论？
（6）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不是无穷大量，则它一定存在收敛子列。
（7）对数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 的充要条件为 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} a_{2 k}=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{2 k+1}=a$ ．
（8）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，$\displaystyle a=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 。证明： $\displaystyle \inf \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \sup \left\{a_{n}\right\}$ 中至少有一个属于 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 。北京交大 2008，青岛科技 2009 ，曲阜师大 2006 ，上海交大 2005）
（9）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的任一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{n}}\right\}$ 都存在且收敛于 $\displaystyle a$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle a$ ．

44．设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, L$ 是 $\displaystyle D$ 的边界曲线，$\displaystyle L$ 取逆时针方向为正向．$\displaystyle n$ 是 $\displaystyle L$ 的外法线方向上的单位向量，$\displaystyle F(P(x, y), Q(x, y))$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的连续可微向量函数。计算极限： $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n d s}$ ．

45．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在圆盘 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在其边界上为 0 ．求证：
$\displaystyle f(0,0)=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi} \iint_{S_{c}} \frac{f_{x} x+f_{y} y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{\varepsilon}=\left\{(x, y): \varepsilon^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 。