斯托克斯公式
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第48题计算题
48．计算下列曲线积分，其中 $\displaystyle L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=a$ 与三坐标平面的交线，其方向为从 $\displaystyle (1,1,1)$看，曲线是逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y .(a=1$ ：电子科技 2002，南昌大学 2008，南京师大 2007，南京财经 2012）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z+2 y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x-(x-z) \mathrm{d} y+(y-x) \mathrm{d} z$ ．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(2 z-3 y) \mathrm{d} x+(x-2 z) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=2)$
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z$ 。（a＝1）
（6）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z .(a=1$ ：电子科技 2009／2007／2013，东南大学 2005，辽宁大学 2005）
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y .(a=1$ ：电子科技 2002，南昌大学 2008，南京师大 2007，南京财经 2012）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z+2 y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x-(x-z) \mathrm{d} y+(y-x) \mathrm{d} z$ ．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(2 z-3 y) \mathrm{d} x+(x-2 z) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=2)$
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z$ 。（a＝1）
（6）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z .(a=1$ ：电子科技 2009／2007／2013，东南大学 2005，辽宁大学 2005）
第49题求解题
49．求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z\end{array}\right|$ ，其中 $\displaystyle L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围区域的面积为 $\displaystyle A, L$ 依正向进行．
（2）$\displaystyle I=\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为立方体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$和平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，站在第一象限 $\displaystyle x+y+z>\frac{3}{2}$ 处看 $\displaystyle \Gamma$ 为逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 和柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向看去，$\displaystyle L$ 为逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z\end{array}\right|$ ，其中 $\displaystyle L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围区域的面积为 $\displaystyle A, L$ 依正向进行．
（2）$\displaystyle I=\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为立方体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$和平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，站在第一象限 $\displaystyle x+y+z>\frac{3}{2}$ 处看 $\displaystyle \Gamma$ 为逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 和柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向看去，$\displaystyle L$ 为逆时针方向．
第50题计算题
50．计算下列曲线积分，其中 $\displaystyle L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $\displaystyle x$ 轴的正方向看去 $\displaystyle L$ 为逆时针方向。
（1）$\displaystyle \oint_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 。
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（1）$\displaystyle \oint_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 。
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
第51题计算题
51．试计算 $\displaystyle \int_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与球面 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴的正面看上去取逆时针方向。北京大学 2009）
第52题计算题
52．计算下列曲线积分，其中 $\displaystyle L$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{h}=1(a>0, h>0)$ 的交线，从 $\displaystyle O x$ 的正向看去，交线按逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。电子科技2001，中南大学2001，北京交大2011，西安交大 2001）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。电子科技2001，中南大学2001，北京交大2011，西安交大 2001）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。
第53题计算题
53．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} 3 z \mathrm{~d} x+5 x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle z=y+3$ 的交线，从 $\displaystyle x$ 轴的正向看去，呈逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L} z \mathrm{~d} x+2 x \mathrm{~d} y+3 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},(a>0)$ 与平面 $\displaystyle z=x+1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴的正向看去，是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x-y+z=2$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看 $\displaystyle L$ 的方向是顺时针的．
（4）$\displaystyle \oint_{L} x y \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物面 $\displaystyle 2-z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=1$ 截下一块光滑曲面 $\displaystyle S$ 的边界，$\displaystyle L$ 逆时针方向为正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(x+\sqrt{2} y^{3} z\right) \mathrm{d} x+(x-\sqrt{2} y) \mathrm{d} y+(x+y+z) \mathrm{d} z$ 其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=-z$ 的交线，从原点看去是逆时针方向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} x^{2} y^{3} \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=1, x=y$ 所交的椭圆的正方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} x y z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle y=z$ 相交而成的圆，方向依次经过第 $\displaystyle 1,2,7,6$ 卦限．
（1）$\displaystyle \oint_{L} 3 z \mathrm{~d} x+5 x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle z=y+3$ 的交线，从 $\displaystyle x$ 轴的正向看去，呈逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L} z \mathrm{~d} x+2 x \mathrm{~d} y+3 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},(a>0)$ 与平面 $\displaystyle z=x+1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴的正向看去，是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x-y+z=2$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看 $\displaystyle L$ 的方向是顺时针的．
（4）$\displaystyle \oint_{L} x y \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物面 $\displaystyle 2-z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=1$ 截下一块光滑曲面 $\displaystyle S$ 的边界，$\displaystyle L$ 逆时针方向为正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(x+\sqrt{2} y^{3} z\right) \mathrm{d} x+(x-\sqrt{2} y) \mathrm{d} y+(x+y+z) \mathrm{d} z$ 其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=-z$ 的交线，从原点看去是逆时针方向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} x^{2} y^{3} \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=1, x=y$ 所交的椭圆的正方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} x y z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle y=z$ 相交而成的圆，方向依次经过第 $\displaystyle 1,2,7,6$ 卦限．
第54题计算题
54．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为球面三角形 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x>0$ ，
$\displaystyle y>0, z>0$ 的边界线，若从 $\displaystyle x$ 轴正向看，$\displaystyle L$ 的方向为顺时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-z\right) \mathrm{d} x+(x-2 y z) \mathrm{d} y+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+y^{2}=2 b x,\end{array} z \geqslant 0,0<2 b<a\right.$ ，从 $\displaystyle z$ 轴的正方向看过去，$\displaystyle L$ 是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 b x$的交线 $\displaystyle z \geqslant 0$ 的部分，曲线的方向规定从 $\displaystyle x$ 轴正向看顺时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(y+z) \mathrm{d} x+z \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x, a>0$ 的交线，沿 $\displaystyle z$ 轴的正面看去按逆时针方向．（厦门大学 2002，哈工大 2006（ $\displaystyle a=1$ ））
（5） $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与平面 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x, y, z>0$ 的交线，从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 沿曲线到点 $\displaystyle (0,0, c)$ 的部分，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为球面三角形 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x>0$ ，
$\displaystyle y>0, z>0$ 的边界线，若从 $\displaystyle x$ 轴正向看，$\displaystyle L$ 的方向为顺时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-z\right) \mathrm{d} x+(x-2 y z) \mathrm{d} y+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+y^{2}=2 b x,\end{array} z \geqslant 0,0<2 b<a\right.$ ，从 $\displaystyle z$ 轴的正方向看过去，$\displaystyle L$ 是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 b x$的交线 $\displaystyle z \geqslant 0$ 的部分，曲线的方向规定从 $\displaystyle x$ 轴正向看顺时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(y+z) \mathrm{d} x+z \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x, a>0$ 的交线，沿 $\displaystyle z$ 轴的正面看去按逆时针方向．（厦门大学 2002，哈工大 2006（ $\displaystyle a=1$ ））
（5） $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与平面 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x, y, z>0$ 的交线，从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 沿曲线到点 $\displaystyle (0,0, c)$ 的部分，$\displaystyle a, b, c>0$ ．