旋转曲面的面积
按知识点浏览 · 共 3 题
第19题计算题
19．求立体的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
第23题求解题
23．设球面 $\displaystyle \Sigma$ 的半径为 $\displaystyle R$ ，球心在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上．问当 $\displaystyle R$ 何值时，$\displaystyle \Sigma$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 内部的面积最大？并求该最大面积．
第35题计算题
35．计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为连续函数，$\displaystyle S$ 是平面 $\displaystyle x-y+z=1$ 在第四卦限部分的上侧．