无界函数的反常积分（瑕积分）
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第5题计算题
5．计算下列积分．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
第6题证明题
6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ ，并求下列积分：
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第7题求解题
7．判断下列反常积分是否收玫？若收玫，求其积分值．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第8题计算题
8．已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ，计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第9题证明题
9．证明下列等式．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
第18题讨论/判定题
18．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(0)>0$ ．证明：积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)-f(0)}{x^{p}} \mathrm{~d} x,(p>1)$ 当 $\displaystyle 1<p<2$ 时，收敛；当 $\displaystyle p \geqslant 2$ 时，发散．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续， 0 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的唯一零点，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)>0$ ，证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收玫．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 单调增加无上界，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+f^{2}(x)} \mathrm{dx}$ 收敛。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(0)>0$ ．证明：积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)-f(0)}{x^{p}} \mathrm{~d} x,(p>1)$ 当 $\displaystyle 1<p<2$ 时，收敛；当 $\displaystyle p \geqslant 2$ 时，发散．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续， 0 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的唯一零点，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)>0$ ，证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收玫．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 单调增加无上界，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+f^{2}(x)} \mathrm{dx}$ 收敛。
第29题未分类
29．若瑕积分 $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（ $\displaystyle a$ 是㻓点），那么 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。并举例说明命题的逆不成立．