无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶、等价）
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第1题讨论/判定题
1．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第1题计算题
1．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2}+y^{2}}$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(x+y) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 0}}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\alpha}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), 0<\alpha<1$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}} \frac{\sqrt{|x-y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|}$ ．（南京师大2007，广西师大2013（用定义））
（8） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(\cos \frac{y}{x}\right)^{\frac{x^{3}}{x+y^{3}}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow 0^{-}}}\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\sqrt{x+\frac{1}{y}}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^{2}}{x+y}},(a>0)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2}+y^{2}}$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(x+y) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 0}}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\alpha}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), 0<\alpha<1$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}} \frac{\sqrt{|x-y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|}$ ．（南京师大2007，广西师大2013（用定义））
（8） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(\cos \frac{y}{x}\right)^{\frac{x^{3}}{x+y^{3}}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow 0^{-}}}\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\sqrt{x+\frac{1}{y}}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^{2}}{x+y}},(a>0)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}$ ．
第5题计算题
5．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为常数。（陕西师大 $\displaystyle 2000 ; \alpha=1$ ：中科院 1997，青岛大学 2010，西南大学
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(2 \sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n+2 \sqrt{n}}}-\sqrt{n})$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$ 。重庆大学2003，岂东科技2008，宁波大学2004，西安交大 1997）
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt[4]{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x} x\left(\sqrt[3]{x^{3}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}}-\sqrt[5]{x^{5}-x^{4}}\right)$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(a_{1}+x\right)\left(a_{2}+x\right) \cdots\left(a_{n}+x\right)}-x\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left[\left(a_{1} \sqrt{n+1}-a_{2} \sqrt{n+2}\right)+\left(a_{3} \sqrt{n+3}-a_{4} \sqrt{n+4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1} \sqrt{n+2 k-1}-a_{2 k} \sqrt{n+2 k}\right)\right]$,
其中 $\displaystyle \left[\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1}-a_{2 k}\right)\right]=0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为常数。（陕西师大 $\displaystyle 2000 ; \alpha=1$ ：中科院 1997，青岛大学 2010，西南大学
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+n}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(2 \sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n+2 \sqrt{n}}}-\sqrt{n})$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$ 。重庆大学2003，岂东科技2008，宁波大学2004，西安交大 1997）
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt[4]{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x} x\left(\sqrt[3]{x^{3}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}}-\sqrt[5]{x^{5}-x^{4}}\right)$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(a_{1}+x\right)\left(a_{2}+x\right) \cdots\left(a_{n}+x\right)}-x\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left[\left(a_{1} \sqrt{n+1}-a_{2} \sqrt{n+2}\right)+\left(a_{3} \sqrt{n+3}-a_{4} \sqrt{n+4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1} \sqrt{n+2 k-1}-a_{2 k} \sqrt{n+2 k}\right)\right]$,
其中 $\displaystyle \left[\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{2 k-1}-a_{2 k}\right)\right]=0$ ．
第9题计算题
9．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
第13题计算题
13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
第16题计算题
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle u=0$ 的某个邻域中满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leqslant|u|^{a}$ 。证明：
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
第47题证明题
47．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．