无穷限反常积分（无穷积分）
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第1题计算题
1．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
第1题讨论/判定题
1．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第1题证明题
1．设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：$\displaystyle A=0$ ．
第2题证明题
2．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{dx}, I_{2}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{dx}$ ，证明：$\displaystyle I_{1}$ 收玫，$\displaystyle I_{1}=I_{2}$ ，并求 $\displaystyle I_{1}$ 的值．
第2题讨论/判定题
2．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
第2题证明题
2．若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调下降，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ； （3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第3题计算题
3．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．
第3题讨论/判定题
3．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
第4题求解题
4．求证： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\frac{\pi}{4}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意实数。武汉大学 2013，扬州大学 2009，山东科技 2009 ，中科院 2004 ，中科大 2004 ，宁波大学 2010 ，湖南师大 2008 ，温州大学 2010 ）
第4题讨论/判定题
4．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $\displaystyle p=1$ ），南京师大2002（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $\displaystyle p=1$ ），南京师大2002（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。
第4题未分类
4．分析 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 的关系．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0 ;+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，是否必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若是，请证明；若不是，请举反例，并说明对 $\displaystyle f(x)$ 加一点什么条件就能保证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）举例说明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，但不一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。在前面的条件下再加什么条件，一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，问 $\displaystyle f(x)$ 是否在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0 ;+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，是否必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若是，请证明；若不是，请举反例，并说明对 $\displaystyle f(x)$ 加一点什么条件就能保证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）举例说明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，但不一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。在前面的条件下再加什么条件，一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，问 $\displaystyle f(x)$ 是否在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
第5题计算题
5．计算下列积分．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
第5题讨论/判定题
5．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第5题证明题
5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第6题讨论/判定题
6．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{p}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, p>0$ ．（中南大学2003，华南师大2005（ $\displaystyle p>0, q>0$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{q}} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{p}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, p>0$ ．（中南大学2003，华南师大2005（ $\displaystyle p>0, q>0$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{q}} \mathrm{~d} x$ 。
第7题求解题
7．判断下列反常积分是否收玫？若收玫，求其积分值．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第7题讨论/判定题
7．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续周期函数，周期 $\displaystyle T>0, \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=C$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=C$ 。
第8题讨论/判定题
8．设 $\displaystyle f(x)=\ln \left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right)$ ，讨论不同的 $\displaystyle p$ 对 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上积分的敛散性．
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明若 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c$（ $\displaystyle c$ 为常数），则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第9题讨论/判定题
9．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
第9题未分类
9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，则存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
第10题计算题
10．设 $\displaystyle \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y=1$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 。
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列反常积分的绝对收敛和条件收敛性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。
第10题证明题
10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足条件 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ；（2）存在数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(y_{n}\right)=0$ 。
第11题讨论/判定题
11．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 。（南航 2012，地质大学 2003，广西大学 2003（ $\displaystyle \alpha=2$ ），杭州师 大 2009／2008，昆明理工 2006，计量学院 2007）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 。（南航 2012，地质大学 2003，广西大学 2003（ $\displaystyle \alpha=2$ ），杭州师 大 2009／2008，昆明理工 2006，计量学院 2007）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
第11题证明题
11．已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x<+\infty$ ．证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ 满足：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 严格单调递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ 。北京大学 2009，云南大学 2011，华中师大 2010）
第12题计算题
12．计算下列反常积分（已知 $\displaystyle \left.\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
第12题未分类
12．判断下列反常积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle g(x)>0, f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在任意有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle x>a$ 时，$\displaystyle g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $\displaystyle f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．
分析：即证 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $\displaystyle g(x)>0$ ，需证
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
（1）设 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle g(x)>0, f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在任意有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle x>a$ 时，$\displaystyle g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $\displaystyle f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．
分析：即证 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $\displaystyle g(x)>0$ ，需证
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
第13题证明题
13．设 $\displaystyle f(t)=\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2}, g(t)=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{-t^{2}\left(1+x^{2}\right)}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，证明：$\displaystyle f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
第13题讨论/判定题
13．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
第14题未分类
14．给出 Riemann 积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义，并确定实数 $\displaystyle s$ 的范围使下列极限收敛 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ ．
第14题证明题
14．（傅茹兰尼公式）证明：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}$ ．（北京师大 2005，北京交大 2013／2006，电子科技 2010（ $\displaystyle k=0$ ），广西民大 2010 ，人民大学 2000）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=d$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(d-c) \ln \frac{b}{a} .
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}$ ．（北京师大 2005，北京交大 2013／2006，电子科技 2010（ $\displaystyle k=0$ ），广西民大 2010 ，人民大学 2000）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=d$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(d-c) \ln \frac{b}{a} .
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．
第14题证明题
14．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0$ ，并讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛性．
第15题求解题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，对任意 $\displaystyle A>0, \int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 均有意义，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f(3 x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有一阶连续的导数， $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ．
第16题讨论/判定题
16．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}, \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}, \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ．
第16题证明题
16．设对任意实数 $\displaystyle A>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$（ $\displaystyle B$ 有限），证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} f(x) \mathrm{d} x=$ B．（华东师大 2015，苏州大学 2013，四川大学 2009，南开大学 2010，浙江大学 2009，山东大学 2010（ $\displaystyle B=2$ ））
第17题讨论/判定题
17．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛．
第18题计算题
18．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
第19题证明题
19．利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a}),(b>a>0)$ ．（太原科技 2005，天津大学 2006，燕山大学 2004，华南师大 2007（ $\displaystyle a=0$ ），西北师大）
第19题未分类
19．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ ，试证：若 $\displaystyle \lambda>1$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的正值连续函数．证明若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=q<1$ ，则反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(0)>0$ ．证明：积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)-f(0)}{x^{p}} \mathrm{~d} x,(p>1)$ 当 $\displaystyle 1<p<2$ 时，收敛；当 $\displaystyle p \geqslant 2$ 时，发散．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续， 0 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的唯一零点，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)>0$ ，证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收玫．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 单调增加无上界，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+f^{2}(x)} \mathrm{dx}$ 收敛。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(0)>0$ ．证明：积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)-f(0)}{x^{p}} \mathrm{~d} x,(p>1)$ 当 $\displaystyle 1<p<2$ 时，收敛；当 $\displaystyle p \geqslant 2$ 时，发散．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续， 0 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的唯一零点，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)>0$ ，证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收玫．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 单调增加无上界，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+f^{2}(x)} \mathrm{dx}$ 收敛。
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，极 限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证 明：无 穷 积 分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，极 限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证 明：无 穷 积 分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。
第22题求解题
22．设地球是半径为 $\displaystyle R$ 的圆球，地面上（即地球上空）距地球中心 $\displaystyle r(r \geqslant R)$ 处空气密度 $\displaystyle \rho(r)=\rho_{0} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)},\left(\rho_{0}, k\right.$ 为正常数），求地球上空空气质量。中科院 2007）
第27题证明题
27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(0)>0$ ，证明若积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．
第27题未分类
27．设 $\displaystyle \left\{s_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的函数列，$\displaystyle s_{n}(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [A, B]$ 上 Riemann 可积且一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ，若存在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上广义积分收敛的函数 $\displaystyle F(x), \forall n$ 及 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $\displaystyle \left|s_{n}(x)\right| \leqslant F(x)$ ，证 明：（1）$\displaystyle \left|s_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可积；（2）$\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可积； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x$ 。
第27题求解题
27．求 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{u} \mathrm{~d} z \iint_{D} \frac{\sin \left(z \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $\displaystyle D: 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4^{2}$ ．
第28题证明题
28．证明下列命题并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
第30题证明题
30．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
第30题证明题
30．证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
第33题未分类
33．举例．
（1）举一个非负函数 $\displaystyle f(x)$ ，它在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上积分收玫，但极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在．
（2）作一非负连续且无界的函数使无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
（1）举一个非负函数 $\displaystyle f(x)$ ，它在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上积分收玫，但极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在．
（2）作一非负连续且无界的函数使无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
第34题讨论/判定题
34．讨论下列问题．
（1）设反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收玫？．
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收敛？若收敛，请证明之；若不一定收敛，请举出反例．
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，并有 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。这一结论是否成立？（若成立，需给出证明；若认为不一定成立，需给出反例）。西安交大 1997）
（1）设反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收玫？．
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收敛？若收敛，请证明之；若不一定收敛，请举出反例．
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，并有 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。这一结论是否成立？（若成立，需给出证明；若认为不一定成立，需给出反例）。西安交大 1997）
第35题未分类
35．判断题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的㻓积分均存在，则乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的瑕积分 必存在。
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的㻓积分均存在，则乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的瑕积分 必存在。
第49题证明题
49．设 $\displaystyle \phi(x), f(x)$ 是连续函数，且有 $\displaystyle R>0$ ，当 $\displaystyle |x| \geqslant R$ 时，$\displaystyle \phi(x)=0$ ，证明：（1）$\displaystyle \phi(x) f\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于 $\displaystyle \phi(x) f(0)$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \mathrm{d} x=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(n x) f(x)=f(0)$ ．
第52题证明题
52．设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 关于 $\displaystyle n$ 一致收敛。又对任意 $\displaystyle M>a,\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, M]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：（1）反 常积 分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收 敛； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学 1995）