曲线积分与路线的无关性

11．计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(12 x y+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x-\left(\cos y-x \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O$ ，再沿 $\displaystyle O x$ 轴到点 $\displaystyle B(2,0)$ 的路径．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿 $\displaystyle x$ 轴到点 $\displaystyle B(3,0)$ 的路径。
（3）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=1-\sqrt{1-x^{2}}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿直线 $\displaystyle y=0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的路径。

15．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为下半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 沿 $\displaystyle x$ 轴增加的方向。西安电子科大2008）
（2） $\displaystyle \int_{A B}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 由点 $\displaystyle A(0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,1)$ 的曲线 $\displaystyle y^{3}=x^{2}$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{y}+x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为过点 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,2)$ 的圆周从点 $\displaystyle O$ 到点 $\displaystyle B$ 的弧段 $\displaystyle \widehat{O A B}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sin x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x+y \mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 沿 $\displaystyle y=x^{2}$ 从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (1,1)$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 从 $\displaystyle O(0,0)$ 到 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段曲线．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(0,1)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$ 到点 $\displaystyle B(\pi, 0)$ 的弧段．

分析：曲线积分与路径无关，积分表达式为某函数的微分

16．验证微分式与路径无关，并求其值．
（1）验证 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(x, y)}\left(2 x \cos y-y^{2} \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \cos x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 与路径无关，并求其值。
（2）验证微分式 $\displaystyle \frac{2 x\left(1-\mathrm{e}^{y}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^{y}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} y,(x, y) \in \mathrm{R}^{2}$ 存在原函数，并求它的原函数．
（3）验证微分式 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}\left[\mathrm{e}^{y}(x-y+2)+y\right] \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}\left[\mathrm{e}^{y}(x-y)+1\right] \mathrm{d} y$ 存在原函数，并求它的原函数．
（4）验证微分式 $\displaystyle \left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ 存在原函数，并求它的原函数．
（5）证明 $\displaystyle \left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ 为某个函数的全微分，并求它的原函数．
（6）证明 $\displaystyle \omega=\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-2 x\right) \mathrm{d} y$ 有原函数，并求它的一个原函数．
（7）试证 $\displaystyle \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ 在右半平面 $\displaystyle x>0$ 内是某函数 $\displaystyle u(x, y)$ 的全微分，并求 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（8）设 $\displaystyle \mathrm{d} u(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}-2 x y+y^{2}}$ ，求 $\displaystyle u(x, y)$ ．

17．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 从点 $\displaystyle A(0,1)$ 到 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的弧段。武汉理工 2006）
（2） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x y}\left(x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=1+\sqrt{1-x^{2}}$ ，从点 $\displaystyle (1,1)$ 到点 $\displaystyle (-1,1)$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L} f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 为连续函数，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线．
（4） $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ 从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (-1,0)$ 的一段．

分析：曲线积分与路径无关．

19．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2,3)$ 到点 $\displaystyle B(3,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（3）$\displaystyle L$ 为上半平面 $\displaystyle y>0$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $\displaystyle A(a, b)$ ，终点为 $\displaystyle B(c, d) .(a b=c d)$ ．

提示：被积函数两部分有关联，且 $\displaystyle f$ 可导，考虑积分与路径无关．

20．设 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (0,1)$ 到点 $\displaystyle (0,3)$ 的曲线 $\displaystyle x=\sqrt{4 y-y^{2}-3}$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续可微，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1}{y}+y f(x y)\right) \mathrm{d} x+\left(x f(x y)-\frac{x}{y^{2}}+\frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}}\right) \mathrm{d} y$ 。
分析：曲线积分与路径无关，

21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 连续，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线，证明积分 $\displaystyle \int_{L} f\left(x^{2}+y^{2}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ 与积分路径无关．（南开大学 2003，苏州科技 2007，湖南大学，河北工大 2010，上海理工 2006，西北大学 2003，昆明理工 2007（ $\displaystyle f(r)=\ln r)$ ）
（2）设在上半平面 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且对任意的 $\displaystyle t>0$ 都有 $\displaystyle f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$ ，证明：对 $\displaystyle D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，都有

$$
\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0 \text {. }
$$

（3）设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle C$ 为对称于坐标轴的任一封闭曲线，计算积分

$$
\oint_{C} f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2} \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y\right) .
$$

22．求下列积分或未知函数．
（1）设曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续导数，且 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，试计算 $\displaystyle I=\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$. ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有连续的导函数，且曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle I=\int_{(0.0)}^{(1.1)}\left(e^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 。
（3）设 $\displaystyle g(u)$ 为连续可微函数，若曲线积分 $\displaystyle \int_{c} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{(0.0)}^{(1.1)} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ ．
（4）设曲线积分 $\displaystyle \int_{C}\left(f(x)-\mathrm{e}^{x}\right) \sin y \mathrm{~d} x-f(x) \cos y \mathrm{~d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle f(x)$ 有一阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．试求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5）当 $\displaystyle x>-1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 连续可导，$\displaystyle f(0)=\frac{6}{5}$ ，对半平面 $\displaystyle x>-1$ 上的任一闭曲线，有

$$
\oint_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y=0
$$


试求 $\displaystyle f(x)$ ，并且计算 $\displaystyle \int_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (2,3)$ 的弧段．（电子科大2011）
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续可微函数，$\displaystyle f(1)=1, G$ 为不包含原点的单连通域，任取 $\displaystyle M, N \in G$ ，在 $\displaystyle G$ 内曲线积分 $\displaystyle \int_{N}^{M} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ 与路径无关。试求 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为
$\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ，取正向．

23．求末知函数．
（1）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle t$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。
（2）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle z$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(z, 1)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, z)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。华中科大2005）

24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 $\displaystyle C$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ 的值为常数．
（1）设 $\displaystyle C$ 为正向闭曲线 $\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=1$ ，证明：$\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=0$ ；
（2）求函数 $\displaystyle \varphi(x)$ ；
（3）设 $\displaystyle C$ 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 $\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为常数，试证明：对右半平面 $\displaystyle x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle C \perp$ ，有 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0$ ，并求 $\displaystyle \varphi(y)$ 函数的表达式．

25．求末知常数或条件．
（1）试求常数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲线积分 $\displaystyle \frac{x}{y} r^{\lambda} \mathrm{d} x-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda} \mathrm{d} y$ 为某个函数 $\displaystyle u(x, y)$ 的全微分（或 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x}{y} r^{\lambda} \mathrm{d} x-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda} \mathrm{d} y=0$ 对上半平面的任何光滑闭曲线 $\displaystyle L$ 成立），并求 $\displaystyle u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。
（2）求常数 $\displaystyle a$ ，使曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 的值恒等于零，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一不经过原点 $\displaystyle (0,0)$ 的简单闭曲线。
（3）为了使曲线积分 $\displaystyle \int_{L} F(x, y)(y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y)$ 与积分路线无关，可微函数 $\displaystyle F(x, y)$ 应满足怎样的条件？

28．计算曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为任一不包含原点的闭区域的边界，方向逆时针；
（2）$\displaystyle L$ 为围绕原点的光滑闭曲线，取正向；
（3）$\displaystyle L$ 为不经过原点的简单闭曲线．


分析：若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则在此区域内曲线积分与路径无关。

若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，那么 $\displaystyle P, Q$ 在 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域上不满足格林公式。此时，取一条特殊的封闭光滑曲线 $\displaystyle L_{1}$ ，在 $\displaystyle L+L_{1}$ 上应用 Green 公式，将 $\displaystyle L$ 上的曲线积分转化为 $\displaystyle L_{1}$ 上的曲线积分．

29．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半椭圆．（湖北大学 $\displaystyle 2003\left(x^{2}+4 y^{2}=1\right)$ ，聊城大学 2011（ $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ ））
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为正．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正．

30．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为平面上任一不包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（2）$\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（3）$\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线．

31．设 $\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线，对曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ ， $\displaystyle \left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 有下列结论：

I 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=0$ ；
II 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{c_{1} c_{2}}}$ ．
III利用上述结论，求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R>1)$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=R^{2}(R \neq 1)$（按逆时针方向）．
（5） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (-1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=R^{2}, 0<R \neq 1$ ，取逆时针方向．（华南师大 2005，辽宁大学 2005，安徽大学 2009 \2007，东北大学 2003，聊城大学 2012，曲阜师大 2009（ $\displaystyle R=3$ ），苏州科技 2011）
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+9 y^{2}}, L$ 为取反时针方向的单位圆周．（湖南师大 2011，华中科大 2004／2003，宁波大学 2009（ $\displaystyle L: 4 x^{2}+9 y^{2}=1$ ，逆时针方向），福州大学 2009）
（8）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+9 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（9）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^{2}+3 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，逆时针方向．
（10）$\displaystyle I=\int_{c} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}=1$ 沿逆时针方向．
（11） $\displaystyle \int_{C} \frac{y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（12） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向．

32．设 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的正向光滑封闭简单曲线．试证明：曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} y-\left(y-y_{0}\right) \mathrm{d} x}{c_{1}\left(x-x_{0}\right)^{2}+c_{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 的值为常数，并求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-\left(y-2^{-1}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+\left(y-2^{-1}\right)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 从 $\displaystyle A(1,0)$ 经上半单位圆周到 $\displaystyle B(-1,0)$ ，再经过直线段 $\displaystyle B A$ 回到 $\displaystyle A$ 点．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} y}{(x+1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ ，取正向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-8 x=0$ ，取正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ ，取正向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{4(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周：$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，取正向．
（7）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x-1) \mathrm{d} y-(y-2) \mathrm{d} x}{4(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle (1,2)$ 得正向光滑封闭简单曲线．

34．设 $\displaystyle L$ 为一条不通过原点的光滑曲线，取逆时针方向，证明：当 $\displaystyle a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ 与路径无关 $\displaystyle \left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ ，并求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y, a>0$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 经过 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$的线段。
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的一条不通过原点的光滑曲线：$\displaystyle y=f(x), x \in[-1,1]$ ，且当 $\displaystyle x \in(-1,1)$ 时，$\displaystyle f(x)>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-a, 0)$ 经上半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \geqslant b)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$ 的弧段．，华南师大2009）
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y=1-2 x^{2}$ 自点 $\displaystyle A(-1,1)$ 至点 $\displaystyle B(1,-1)$ 的弧段．

55．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0,2)$ 的任一条光滑曲线．
（2）$\displaystyle \oint_{A M B}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle A M B$ 为从点 $\displaystyle A(a, 0,0)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0, h)$ 沿着 $\displaystyle x=a \cos \varphi, y=a \sin \phi, z=\frac{h}{2 \pi} \varphi$ 所取的．
（3） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos 2008 \pi t, y=\cos 2008 \pi t, z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1}, t \in[0,1]$ ，从点（ $\displaystyle 1,1,0$ ）到点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）的部分。

58．证明 $\displaystyle \left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 在整个 $\displaystyle x y$ 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数。若有力场 $\displaystyle F=\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) i+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) j$ ，求质点在此力场内沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 从点 $\displaystyle A:(-2,0)$ 移动至点 $\displaystyle B:(0, \sqrt{3})$ 时，场力所做的功．

59．在变力 $\displaystyle \boldsymbol{F}=y z i+z x j+x y k$ 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$的第一象限的点 $\displaystyle M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时，$\displaystyle F$ 所做的功 $\displaystyle W$ 最大，并求 $\displaystyle W$ 的最大值．

60．设 $\displaystyle C$ 为空间按段光滑闭曲线，$\displaystyle f(x), \mathrm{g}(x), h(x)$ 连续，证明：

$$
\oint_{C}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$