曲面的侧（有向曲面）
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第27题计算题
27．设 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1} \\ y=0\end{array} \quad(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转面成的旋转曲面，$\displaystyle S$ 的法向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 与 $\displaystyle x$ 轴的夹角 $\displaystyle \theta>\frac{\pi}{2}$ ．求下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
第28题求解题
28．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。其中 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成的曲面的外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle y O z$ 平面中的曲线 $\displaystyle y=z^{2}$ 线绕 $\displaystyle y$ 轴所生成的旋转曲面在 $\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant 1$ 的部分的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{z^{2}+1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant z \leqslant 2)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle z$ 轴正向的夹角为锐角．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。其中 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成的曲面的外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle y O z$ 平面中的曲线 $\displaystyle y=z^{2}$ 线绕 $\displaystyle y$ 轴所生成的旋转曲面在 $\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant 1$ 的部分的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{z^{2}+1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant z \leqslant 2)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle z$ 轴正向的夹角为锐角．
第30题计算题
30．计算： $\displaystyle \iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x), g(y), h(z)$为连续函数，其中 $\displaystyle S:[0, a] \times[0, b] \times[0, c]$ 的边界，外侧．
第31题求解题
31．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x+y+z=1, x, y, z>0$ 方向与坐标轴正向成锐角，求下列第二型曲面积分
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．