曲面的切平面与法线
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第24题求解题
24．求第一型曲面积分．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到椭球面 $\displaystyle \sum: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{f(x, y, z)}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle \Sigma: \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（3）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到椭球面 $\displaystyle \sum: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{f(x, y, z)}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle \Sigma: \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（3）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
第25题求解题
25．求第一型曲面积分．
（1）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \rho \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, a, b, c>0, \rho$ 为原点到 $\displaystyle S$的切平面的距离．
（2）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\rho^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, A$ 是 $\displaystyle \Sigma$ 内部一点，它与原点的距离为 $\displaystyle q, 0<q<1, \rho$ 为点 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle \Sigma$ 上的点之间的距离．
（1）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \rho \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, a, b, c>0, \rho$ 为原点到 $\displaystyle S$的切平面的距离．
（2）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\rho^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, A$ 是 $\displaystyle \Sigma$ 内部一点，它与原点的距离为 $\displaystyle q, 0<q<1, \rho$ 为点 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle \Sigma$ 上的点之间的距离．
第32题求解题
32．求下列曲面的切平面方程和法线方程．
（1）求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的切平面方程，使其平行于 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 。
（2）在曲面 $\displaystyle z=x y$ 上求一点，使过该点的法线垂直于平面 $\displaystyle x+3 y+z=9$ ，并求过该点的法线方程．
（3）求曲面 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{2}+2 z^{2}$ 上平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y-4 z+1=0$ 的切平面方程，并求过切点的法线方程．
（4）已知曲面 $\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切平面平行于 $\displaystyle 2 x+2 y+z-1=0$ ，求点 $\displaystyle P$ 的坐标及过该点的法线方程．
（5）求椭球 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $\displaystyle P(1,1,1)$ 的切平面方程．
（6）求曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ 的切平面使该切平面垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{1}{2} z=2$ 和 $\displaystyle x-y-z=2$ ．
（1）求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的切平面方程，使其平行于 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 。
（2）在曲面 $\displaystyle z=x y$ 上求一点，使过该点的法线垂直于平面 $\displaystyle x+3 y+z=9$ ，并求过该点的法线方程．
（3）求曲面 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{2}+2 z^{2}$ 上平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y-4 z+1=0$ 的切平面方程，并求过切点的法线方程．
（4）已知曲面 $\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切平面平行于 $\displaystyle 2 x+2 y+z-1=0$ ，求点 $\displaystyle P$ 的坐标及过该点的法线方程．
（5）求椭球 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $\displaystyle P(1,1,1)$ 的切平面方程．
（6）求曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ 的切平面使该切平面垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{1}{2} z=2$ 和 $\displaystyle x-y-z=2$ ．