最大值与最小值
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第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）
第7题求解题
7．求下列函数的最大值与最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$.
（2）$\displaystyle f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ ．
（1）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$.
（2）$\displaystyle f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ ．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
第8题未分类
8．确定下列函数在圆形区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=4 x+x y^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}\left(b^{2}-a c>0, a, b, c>0\right)$ 。厦门大学 2010 ，大连理工 2006 ，上海财大 2002）
（3）$\displaystyle f(x, y)=3 x^{2}-14 x y+y^{2}-2$ ．
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-a x(a>0)$ ．
（1）$\displaystyle f(x, y)=4 x+x y^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}\left(b^{2}-a c>0, a, b, c>0\right)$ 。厦门大学 2010 ，大连理工 2006 ，上海财大 2002）
（3）$\displaystyle f(x, y)=3 x^{2}-14 x y+y^{2}-2$ ．
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-a x(a>0)$ ．
第9题未分类
9．确定下列函数在指定区域的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+12 x y+y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 25\right\}$ 的最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在曲线 $\displaystyle (x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=9$ 所围成的平面闭区域 $\displaystyle \bar{D}$ 上的最大值和最小值．
（3）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+9$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值与最小值．
（4）已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分是 $\displaystyle \mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ，求 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
（5）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值与最小值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 x y+4 y^{2} \leqslant 13\right\}$ 的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+12 x y+y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 25\right\}$ 的最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在曲线 $\displaystyle (x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=9$ 所围成的平面闭区域 $\displaystyle \bar{D}$ 上的最大值和最小值．
（3）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+9$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值与最小值．
（4）已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分是 $\displaystyle \mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ，求 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
（5）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值与最小值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 x y+4 y^{2} \leqslant 13\right\}$ 的最大值和最小值．
第10题求解题
10．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}, D=\{(x, y) \mid-5 \leqslant x \leqslant 5,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，求。 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 中的极大值和极小值点，并判断所求的极值点是否为该函数在 $\displaystyle D$ 中的最大值和最小值点．
第11题未分类
11．确定下列函数在指定区域的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\displaystyle D: x+y \leqslant 2 \pi, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 上的最大值和最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\cos y+\cos (x-y)$ 在区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ 上的最大值和最小值．
（3）证明： $\displaystyle \sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y) \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8}, 0<x, y<\pi$ ．
（4）设 $\displaystyle x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求 $\displaystyle 2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\displaystyle D: x+y \leqslant 2 \pi, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 上的最大值和最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\cos y+\cos (x-y)$ 在区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ 上的最大值和最小值．
（3）证明： $\displaystyle \sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y) \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8}, 0<x, y<\pi$ ．
（4）设 $\displaystyle x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求 $\displaystyle 2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．
第13题证明题
13．证明下列命题，并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{n}(x)\right| \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续有界，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{a<x<b} f(x)=1$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续恒大于 0 ，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \sqrt[p]{\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, a+1]$ 上的连续正值函数，$\displaystyle M=\sup _{a<x<a+1} f(x), A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}$ ．证明：$\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$关于 $\displaystyle n$ 单调递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a<x<b} f(x)$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ 。
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2013} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{n}(x)\right| \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续有界，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{a<x<b} f(x)=1$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续恒大于 0 ，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \sqrt[p]{\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, a+1]$ 上的连续正值函数，$\displaystyle M=\sup _{a<x<a+1} f(x), A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}$ ．证明：$\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$关于 $\displaystyle n$ 单调递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a<x<b} f(x)$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ 。
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2013} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第18题证明题
18．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1, p \geqslant 1$ ．
第23题求解题
23．设球面 $\displaystyle \Sigma$ 的半径为 $\displaystyle R$ ，球心在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上．问当 $\displaystyle R$ 何值时，$\displaystyle \Sigma$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 内部的面积最大？并求该最大面积．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{(1-x)^{2}} \geqslant(a+b)^{3},(0<x<1)$ ．