有理函数的不定积分
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第2题证明题
2．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{dx}, I_{2}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{dx}$ ，证明：$\displaystyle I_{1}$ 收玫，$\displaystyle I_{1}=I_{2}$ ，并求 $\displaystyle I_{1}$ 的值．
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第12题求解题
12．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第15题计算题
15．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
第19题计算题
19．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1}$（常数 $\displaystyle \alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ）．
第20题计算题
20．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
第23题计算题
23．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．