有理函数的部分分式分解
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第21题求解题
21．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
第28题求解题
28．求下列函数的高阶导数。
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
第33题证明题
33．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．