有界函数

5．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续，问函数 $\displaystyle f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\displaystyle \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $\displaystyle I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．

7．证明： $\displaystyle 5 \mathrm{e}^{-\frac{9}{2}} \leqslant \int_{C} \mathrm{e}^{-\sqrt{x^{3} y}} \mathrm{~d} s \leqslant 5$ ，其中 $\displaystyle C$ 为直线 $\displaystyle 3 x+4 y-12=0$ 介于两坐标轴之间的线段．

8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，可导，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)=a$ 存在且有限。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，存在有限极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} f^{\prime}(x)(\alpha \in(0,1))$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界。求证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；（3）若将条件＂$\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界＂改为＂ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在＂，试问还能否推出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。若肯定请证明，若否定请举例说明．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle 0<\alpha<1, \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} f^{\prime}(x)=a$ 。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，$\displaystyle \sqrt{x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，记 $\displaystyle g(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续．

14．设 $\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \in \mathbf{R}-\mathbf{Q},\end{array}\right.$（ $\displaystyle \mathbf{Q}$ 为有理数集）．讨论下列函数的可微性．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{\alpha} D(x),(\alpha>1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2} D(x)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} D(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

14．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b] \subset\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \sin x \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}(\sin x)^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x=\pi$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sqrt[n]{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ 上连续，且恒取正值，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D}(\sin x)(f(x, y))^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} \sigma$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 试讨论 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续、可微及 $\displaystyle f^{\prime}(x)$的连续性．

17．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)=0, f(1)=1,0 \leqslant f(x)<1, x \in(0,1)$ ．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．（大连理
（2）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b],|f(x)|<1, x \in(a, b)$ 。求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．

21．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \cdot \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2}=0$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（7）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle a \in(0,1)$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．

24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足条件 $\displaystyle f(0)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ．证明：在 $\displaystyle [0,1]$上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．若存在 $\displaystyle M>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M|f(x)|, \forall x \in[a, b]$ ．证明：$\displaystyle f(x)=0, \forall x \in[a, b]$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，并有实数 $\displaystyle A>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant A|f(x)|$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上成立．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant k \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, k>0, x \in[0,+\infty)$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle f(0)=0,\left|f^{\prime}(x)-1\right| \leqslant|f(x)|-x, \forall x \in[0,1]$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=x$ 有无穷多解．

28．证明下列结论。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界．
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的有界函数．

29．设 $\displaystyle a_{n}>0, n \geqslant 0, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为1．证明：如果 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} S(x)=S$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫且和为 S．

32．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，并且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, b>a$ 为常数．
（1）举例说明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 不收敛；反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 不收敛。
（2）证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界，且积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：对任意常数 $\displaystyle p>1, \int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x$收敛．

32．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 有界。证明： （1）极限函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 有界；（2）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一致有界，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{a<x<b} f_{n}(x)=\sup _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，若 $\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：$\displaystyle \exists N, \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in[a, b], n>N$ 时有 $\displaystyle f_{n}(x)>\delta$ ．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 使得 $\displaystyle \forall x \in I$ ，总有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上有界．

34．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上分别一致收敛于 $\displaystyle f(x), g(x)$ ．假定 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle I$ 上有界，证明：
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ ；
（2）如果 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上分别收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，能否保证必有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ ，请说明理由。
（3）举例说明：对（1）中的结论，＂$\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上有界＂条件不可去。浙江大学2007，安徽师大 2008）
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界连续，且分别一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ 。如果 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上不是有界函数列，举例说明上述结论不一定成立。
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上分别一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，假定存在正数 $\displaystyle \left\{M_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M_{n},\left|g_{n}(x)\right| \leqslant M_{n}, x \in[a, b], n=1,2,3, \cdots$ 。证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ ．
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上分别一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ．证明：函数列 $\displaystyle \max \left\{f_{n}(x), g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle \max \{f(x), g(x)\}$ 。

36．用一致连续定义证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b)$ 上都一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上也一致连续．并举例说明将 $\displaystyle (a, c]$ 换成 $\displaystyle (a, c)$ 时，结论不一定成立。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ，用定义证明：$\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

38．判断题．
（1）区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的函数总是有界的．