有界闭域上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理、一致连续性）
按知识点浏览 · 共 10 题
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=(1-x) x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 一致收敛，函数列 $\displaystyle g_{n}(x)=\left(1-x^{n}\right) x$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续。证明：（1）$\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上收敛；（2）$\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f(1)=0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续．证明：（1）$\displaystyle \left\{\sin ^{n} x\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上收敛，但在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收敛； （2）$\displaystyle \left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 。华中师大2006，漳州师院2006）
（1）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=(1-x) x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 一致收敛，函数列 $\displaystyle g_{n}(x)=\left(1-x^{n}\right) x$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续。证明：（1）$\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上收敛；（2）$\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f(1)=0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续．证明：（1）$\displaystyle \left\{\sin ^{n} x\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上收敛，但在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收敛； （2）$\displaystyle \left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 。华中师大2006，漳州师院2006）
第5题证明题
5．设 $\displaystyle f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上的实值连续函数，试证明：$\displaystyle g(x)=\sup \{f(x, y): c \leqslant y \leqslant d\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 上连续，当 $\displaystyle (x, y) \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的极限存在．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上是一致连续的．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内连续，且 $\displaystyle \forall(u, v) \in \partial D$ ，存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid(x-u)^{2}+(y-v)^{2}<\delta^{2}\right\}$ 内有界。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上是有界的．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0,1]$ 上有意义，若对于 $\displaystyle \forall x_{0} \in[0,1], f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, 0\right)$ 连续，证明 $\displaystyle \exists \delta>0$ ，使 $\displaystyle f(x, y)$ 在矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．
（1）设 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内连续，且 $\displaystyle \forall(u, v) \in \partial D$ ，存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid(x-u)^{2}+(y-v)^{2}<\delta^{2}\right\}$ 内有界。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上是有界的．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0,1]$ 上有意义，若对于 $\displaystyle \forall x_{0} \in[0,1], f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, 0\right)$ 连续，证明 $\displaystyle \exists \delta>0$ ，使 $\displaystyle f(x, y)$ 在矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．
第12题证明题
12．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在有界开区域 $\displaystyle D$ 内一致连续，则它在 $\displaystyle D$ 内有界．（郑州大学2011（ $\displaystyle D$ 为单位圆），广西民大2007）
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界闭域 $\displaystyle D$ 上连续，用致密性定理证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界闭集，$\displaystyle f(x, y)$ 是 $\displaystyle D$ 上的连续函数，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界，且一定取到最大值和最小值．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界闭域 $\displaystyle D$ 上连续，用致密性定理证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界闭集，$\displaystyle f(x, y)$ 是 $\displaystyle D$ 上的连续函数，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界，且一定取到最大值和最小值．
第15题证明题
15．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle f(x)>0, g_{n}(x)=\sqrt[n]{f(x)}, n=1,2, \cdots$ ．证明：$\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于1．
第15题求解题
15．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）设动点 $\displaystyle (x, y)$ 在圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 上，求函数 $\displaystyle z=x y$ 的最大值和最小值．
（2）设 $\displaystyle a, b, c$ 是已知的三个正常数，求三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值．
（3）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（4）求 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在条件 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（5）设 $\displaystyle x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ ，求 $\displaystyle x+y$ 的最大值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}-1=0\right\}$ 上的最大值和最小值．
（1）设动点 $\displaystyle (x, y)$ 在圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 上，求函数 $\displaystyle z=x y$ 的最大值和最小值．
（2）设 $\displaystyle a, b, c$ 是已知的三个正常数，求三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值．
（3）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（4）求 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在条件 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（5）设 $\displaystyle x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ ，求 $\displaystyle x+y$ 的最大值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}-1=0\right\}$ 上的最大值和最小值．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛。
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b$ ，函数列 $\displaystyle \left\{\psi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛 $\displaystyle \varphi(x)$ ，且 $\displaystyle y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛。
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b$ ，函数列 $\displaystyle \left\{\psi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛 $\displaystyle \varphi(x)$ ，且 $\displaystyle y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .
$$