有限覆盖定理（Heine-Borel定理）
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第1题证明题
1．用实数完备性定理证明连续函数的零点存在定理或介值定理．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．
第22题证明题
22．用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
第24题证明题
24．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
第25题证明题
25．一个函数 $\displaystyle f(x):[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 称作上半连续的，假如对给定的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 及 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在一个 $\displaystyle \delta>0$ ，使得若 $\displaystyle y \in[a, b],|y-x|<\delta$ ，则 $\displaystyle f(x)<f(y)+\varepsilon$ ．证明：$\displaystyle [a, b]$ 上的上半连续函数是有上界的，且在某个点 $\displaystyle c \in[a, b]$ 处达到最大值．
第36题未分类
36．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收玫于 $\displaystyle f(x)$ 且有性质：
$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]:\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta \text { 有 }\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon, n=1,2, \cdots
$$
用有限覆盖定理证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]:\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta \text { 有 }\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon, n=1,2, \cdots
$$
用有限覆盖定理证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
第38题证明题
38．证明下列结论（Dini 定理）。
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
i）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ；ii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
i）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ；ii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ ．