条件极值问题
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第13题求解题
13．求下列函数在条件 $\displaystyle x y z=1$ 下的极值．
（1）$\displaystyle f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ ．
（1）$\displaystyle f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ ．
第14题求解题
14．若变量 $\displaystyle x, y, z, t$ 满足 $\displaystyle x y z t=c^{4}$ ，其中 $\displaystyle c$ 为常数，求函数 $\displaystyle f(x, y, z, t)=x+y+z+t$ 在上述条件下的极值．
第15题求解题
15．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）设动点 $\displaystyle (x, y)$ 在圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 上，求函数 $\displaystyle z=x y$ 的最大值和最小值．
（2）设 $\displaystyle a, b, c$ 是已知的三个正常数，求三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值．
（3）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（4）求 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在条件 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（5）设 $\displaystyle x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ ，求 $\displaystyle x+y$ 的最大值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}-1=0\right\}$ 上的最大值和最小值．
（1）设动点 $\displaystyle (x, y)$ 在圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 上，求函数 $\displaystyle z=x y$ 的最大值和最小值．
（2）设 $\displaystyle a, b, c$ 是已知的三个正常数，求三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值．
（3）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（4）求 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在条件 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（5）设 $\displaystyle x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ ，求 $\displaystyle x+y$ 的最大值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}-1=0\right\}$ 上的最大值和最小值．
第17题求解题
17．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $\displaystyle a>b>c>0$ 。
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(x>0, y>0, z>0)$ 在条件 $\displaystyle x y z=a^{3}$ 下的最小值．
（1）$\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $\displaystyle a>b>c>0$ 。
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(x>0, y>0, z>0)$ 在条件 $\displaystyle x y z=a^{3}$ 下的最小值．
第18题求解题
18．求 $\displaystyle f(x, y)=x y z$ 在条件 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$ 下的极值 $\displaystyle (x>0, y>0, z>0, r>0)$ 。
第19题证明题
19．当 $\displaystyle x>0, y>0, z>0$ 时，求函数 $\displaystyle u=\ln x+2 \ln y+3 \ln z$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 r^{2}$ 上的最大值，并证明对任意的正实数 $\displaystyle a, b, c$ 成立不等式 $\displaystyle a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}$ ．
第20题证明题
20．求下列函数在条件 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\left(x_{i}>0\right)$ 限制下的大（小）值，并证不等式．
（1）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 。并证明 $\displaystyle \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ 。
（2）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2},\left(a_{i}>0\right)$ ，并证明
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．
（1）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 。并证明 $\displaystyle \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ 。
（2）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2},\left(a_{i}>0\right)$ ，并证明
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．
第21题求解题
21．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}(x>0, y>0, z>0)$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的极值点和最值．
（2）求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)(n$ 为正整数 $\displaystyle )$ 在条件 $\displaystyle x+y=a,(x>0, y>0, a>0)$ 下的极值，并证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right) \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\left(a_{i}>0\right)$ 在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leqslant 1$ 限制下的最小值．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}(x>0, y>0, z>0)$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的极值点和最值．
（2）求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)(n$ 为正整数 $\displaystyle )$ 在条件 $\displaystyle x+y=a,(x>0, y>0, a>0)$ 下的极值，并证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right) \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\left(a_{i}>0\right)$ 在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leqslant 1$ 限制下的最小值．
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）中心在原点的 $\displaystyle A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $\displaystyle l$ 是下列行列
式的最大实根 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A-l^{-2} & D & F \\ D & B-l^{-2} & E \\ F & E & C-l^{-2}\end{array}\right|$
（2）设 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵，定义 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}$ 上的齐二次函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ ．证明：函数 $\displaystyle h(x)$ 在条件 $\displaystyle \sum_{1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 下的最小值是 $\displaystyle A$ 的最小特征值．
（1）中心在原点的 $\displaystyle A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $\displaystyle l$ 是下列行列
式的最大实根 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A-l^{-2} & D & F \\ D & B-l^{-2} & E \\ F & E & C-l^{-2}\end{array}\right|$
（2）设 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵，定义 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}$ 上的齐二次函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ ．证明：函数 $\displaystyle h(x)$ 在条件 $\displaystyle \sum_{1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 下的最小值是 $\displaystyle A$ 的最小特征值．
第23题求解题
23．求解下列各题．
（1）求点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 至平面 $\displaystyle A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离．
（2）已知平面上 $\displaystyle n$ 个点的坐标分别是 $\displaystyle A_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, A_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，试求一点，使它与这
$\displaystyle n$ 个点距离的平方和最小．
（3）求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标．
（4）求点 $\displaystyle (0,0, c)$ 到曲面 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的最短距离， $\displaystyle 0<a<b, c>0$ ．
（1）求点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 至平面 $\displaystyle A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离．
（2）已知平面上 $\displaystyle n$ 个点的坐标分别是 $\displaystyle A_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, A_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，试求一点，使它与这
$\displaystyle n$ 个点距离的平方和最小．
（3）求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标．
（4）求点 $\displaystyle (0,0, c)$ 到曲面 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的最短距离， $\displaystyle 0<a<b, c>0$ ．
第24题求解题
24．求解下列各题．
（1）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离．
（2）利用拉格朗日乘数法，求平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 与椭球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 所截的椭圆的面积．
（3）求 $\displaystyle a, b$ 的值，使得椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 包含圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，且面积最小．
（1）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离．
（2）利用拉格朗日乘数法，求平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 与椭球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 所截的椭圆的面积．
（3）求 $\displaystyle a, b$ 的值，使得椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 包含圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，且面积最小．
第25题求解题
25．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle a>0$ ，求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上的点到 $\displaystyle x O y$ 平面的最大和最小距离．
（2）已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $\displaystyle C$ 距离 $\displaystyle x O y$ 面最远的点和最近的点．
（3）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=4$ 的交线的最高点和最低点的坐标．
（1）设 $\displaystyle a>0$ ，求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上的点到 $\displaystyle x O y$ 平面的最大和最小距离．
（2）已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $\displaystyle C$ 距离 $\displaystyle x O y$ 面最远的点和最近的点．
（3）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=4$ 的交线的最高点和最低点的坐标．
第26题求解题
26．求解下列各题．
（1）求抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 和直线 $\displaystyle x-y-2=0$ 之间的最短距离．
（2）求直线 $\displaystyle 4 x+3 y=16$ 与椭圆 $\displaystyle 18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
（3）求平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1(x, y, z>0)$ 之间的最短距离．
（4）求抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 交线上的点到原点的最大距离与最小距离．
（1）求抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 和直线 $\displaystyle x-y-2=0$ 之间的最短距离．
（2）求直线 $\displaystyle 4 x+3 y=16$ 与椭圆 $\displaystyle 18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
（3）求平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1(x, y, z>0)$ 之间的最短距离．
（4）求抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 交线上的点到原点的最大距离与最小距离．
第27题求解题
27．求解下列各题．
（1）求两曲面 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点．
（2）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}=1$ 上距离平面 $\displaystyle 3 x+4 y+12 z=228$ 最近和最远的点．
（1）求两曲面 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点．
（2）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}=1$ 上距离平面 $\displaystyle 3 x+4 y+12 z=228$ 最近和最远的点．
第28题求解题
28．求解下列各题．
（1）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在第一卦限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0, c>0, M(a, b, c)$ 为曲面 $\displaystyle S: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 上任一点，求曲面 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle M$ 的切平面 $\displaystyle \pi$ 的三个截距之积 $\displaystyle u$ 的最大值．
（3）证明过曲面 $\displaystyle x y z=a^{3},(a>0)$ 上任意一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为常数．
（4）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $\displaystyle a$ ．
（5）证明曲面 $\displaystyle x^{\frac{n}{n+1}}+y^{\frac{n}{n+1}}+z^{\frac{n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}},\left(n \in \mathbf{Z}^{+}, a>0\right)$ 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距的 $\displaystyle n$ 次方之和为 $\displaystyle a^{n}$ 。
（6）在曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1,(x>0, y>0, z>0)$ 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．
（1）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在第一卦限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0, c>0, M(a, b, c)$ 为曲面 $\displaystyle S: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 上任一点，求曲面 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle M$ 的切平面 $\displaystyle \pi$ 的三个截距之积 $\displaystyle u$ 的最大值．
（3）证明过曲面 $\displaystyle x y z=a^{3},(a>0)$ 上任意一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为常数．
（4）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $\displaystyle a$ ．
（5）证明曲面 $\displaystyle x^{\frac{n}{n+1}}+y^{\frac{n}{n+1}}+z^{\frac{n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}},\left(n \in \mathbf{Z}^{+}, a>0\right)$ 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距的 $\displaystyle n$ 次方之和为 $\displaystyle a^{n}$ 。
（6）在曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1,(x>0, y>0, z>0)$ 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．
第29题未分类
29．在变力 $\displaystyle F=y z i+z x j+x y k$ 作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 第一象限的点 $\displaystyle M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时， $\displaystyle \boldsymbol{F}$ 所做的功 $\displaystyle W$ 最大，并求 $\displaystyle W$ 的最大值．
第32题求解题
32．求下列曲面的切平面方程和法线方程．
（1）求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的切平面方程，使其平行于 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 。
（2）在曲面 $\displaystyle z=x y$ 上求一点，使过该点的法线垂直于平面 $\displaystyle x+3 y+z=9$ ，并求过该点的法线方程．
（3）求曲面 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{2}+2 z^{2}$ 上平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y-4 z+1=0$ 的切平面方程，并求过切点的法线方程．
（4）已知曲面 $\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切平面平行于 $\displaystyle 2 x+2 y+z-1=0$ ，求点 $\displaystyle P$ 的坐标及过该点的法线方程．
（5）求椭球 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $\displaystyle P(1,1,1)$ 的切平面方程．
（6）求曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ 的切平面使该切平面垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{1}{2} z=2$ 和 $\displaystyle x-y-z=2$ ．
（1）求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的切平面方程，使其平行于 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 。
（2）在曲面 $\displaystyle z=x y$ 上求一点，使过该点的法线垂直于平面 $\displaystyle x+3 y+z=9$ ，并求过该点的法线方程．
（3）求曲面 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{2}+2 z^{2}$ 上平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y-4 z+1=0$ 的切平面方程，并求过切点的法线方程．
（4）已知曲面 $\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切平面平行于 $\displaystyle 2 x+2 y+z-1=0$ ，求点 $\displaystyle P$ 的坐标及过该点的法线方程．
（5）求椭球 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $\displaystyle P(1,1,1)$ 的切平面方程．
（6）求曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ 的切平面使该切平面垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{1}{2} z=2$ 和 $\displaystyle x-y-z=2$ ．
第36题证明题
36．证明或求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle O(0,0)$ 最近的点，求证：$\displaystyle O P$ 与曲线在点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线正交．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线外一点，$\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 最近的点，求曲线 $\displaystyle \Gamma$ 在 $\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 的法线方程．
（3）证明：在光滑曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上离原点最近的点处的法线过原点．
（4）设 $\displaystyle \Sigma$ 为由 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 表示的曲面，其中 $\displaystyle F(x, y, z)$ 是连续可微函数，$\displaystyle B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ 为曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外一点，$\displaystyle A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上距离最近的点，求曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle A$ 处的切平面方程．
（5）设曲面 $\displaystyle \Sigma: F(x, y, z)=1$ 满足条件：$\displaystyle x F_{x}+y F_{y}+z F_{z}=n, n \in \mathbf{N}^{+}$。点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Sigma$ 满足 $\displaystyle \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \neq(0,0,0)$ ，且 $\displaystyle F(x, y, z)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 可微，证明：曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle x F_{x}\left(P_{0}\right)+y F_{y}\left(P_{0}\right)+z F_{z}\left(P_{0}\right)=n$ ．
（1）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle O(0,0)$ 最近的点，求证：$\displaystyle O P$ 与曲线在点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线正交．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线外一点，$\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 最近的点，求曲线 $\displaystyle \Gamma$ 在 $\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 的法线方程．
（3）证明：在光滑曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上离原点最近的点处的法线过原点．
（4）设 $\displaystyle \Sigma$ 为由 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 表示的曲面，其中 $\displaystyle F(x, y, z)$ 是连续可微函数，$\displaystyle B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ 为曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外一点，$\displaystyle A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上距离最近的点，求曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle A$ 处的切平面方程．
（5）设曲面 $\displaystyle \Sigma: F(x, y, z)=1$ 满足条件：$\displaystyle x F_{x}+y F_{y}+z F_{z}=n, n \in \mathbf{N}^{+}$。点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Sigma$ 满足 $\displaystyle \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \neq(0,0,0)$ ，且 $\displaystyle F(x, y, z)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 可微，证明：曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle x F_{x}\left(P_{0}\right)+y F_{y}\left(P_{0}\right)+z F_{z}\left(P_{0}\right)=n$ ．
第59题未分类
59．在变力 $\displaystyle \boldsymbol{F}=y z i+z x j+x y k$ 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$的第一象限的点 $\displaystyle M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时，$\displaystyle F$ 所做的功 $\displaystyle W$ 最大，并求 $\displaystyle W$ 的最大值．