极值判别法（一阶导数判别、二阶导数判别）

1．求下列函数的极值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=(x-y+1)^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2} y(4-x-y), x>0, y>0$ ．
（3）$\displaystyle f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right) \cdot($ 山东师大 2008）
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ ．
（5）$\displaystyle w=x+y+z+\frac{1}{x y z}$ ．
（6）$\displaystyle w=\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)}$ ．

2．证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x-y \mathrm{e}^{y}$ 有无穷多个极大值，但无极小值．

2．在过原点 $\displaystyle O(0,0)$ 和点 $\displaystyle A(\pi, 0)$ 的曲线簇 $\displaystyle y=a \sin x(a>0)$ 中，求一条曲线 $\displaystyle L$ 使得从 $\displaystyle O$ 到 $\displaystyle A$的积分 $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ 的值最小．

3．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{2}-6 x+2 y+1$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 处的二阶带佩亚型诺余项的泰勒公式．问 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由．

4．求下列隐函数的极值．
（1）求由方程 $\displaystyle x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
（2）求由方程 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值．
（3）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值．

5．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $\displaystyle x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $\displaystyle f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$\displaystyle f(x, y)$ 没有极大值点．

10．证明不等式 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x \ln x-x-x y \geqslant 0, x \geqslant 1, y \geqslant 0$ ．

10．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}, D=\{(x, y) \mid-5 \leqslant x \leqslant 5,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，求。 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 中的极大值和极小值点，并判断所求的极值点是否为该函数在 $\displaystyle D$ 中的最大值和最小值点．

15．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 为偶数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无零点；当 $\displaystyle n$ 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有且只有一个零点。
（2）证明：奇次多项式至少存在一个实根．
（3）方程 $\displaystyle x^{n}+p x+q=0$（ $\displaystyle n$ 为正整数）当 $\displaystyle n$ 为偶数时至多有两个实根；当 $\displaystyle n$ 为奇数时至多有三个实根．
（4）设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明方程 $\displaystyle x^{3}+a x+b=0$ 有唯一的负实根．

17．研究下列方程的实根。
（1）设 $\displaystyle k>0$ ，试问 $\displaystyle k$ 为何值时，方程 $\displaystyle \arctan x-k x=0$ 存在正实根．
（2）设当 $\displaystyle k>0$ 时，方程 $\displaystyle k x+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $\displaystyle k$ 的取值范围．
（3）讨论曲线 $\displaystyle y=4 \ln x+k$ 与 $\displaystyle y=4 x+\ln ^{4} x$ 的交点的个数，其中 $\displaystyle k$ 为参数．

17．证明下列不等式．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $\displaystyle x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\displaystyle \forall x>0,0<p<1, x^{p}-p x \leqslant 1-p$ ．

18．研究下列方程的实根。
（1）求 $\displaystyle f(x)=a x-\ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的极值；求方程 $\displaystyle a x=\ln x$ 有两个正实根的条件。
（2）试研究方程 $\displaystyle a x=\ln x,(a>0)$ 的实根的个数。

19．研究下列方程的实根．
（1）$\displaystyle x=\mathrm{e}^{a x},(a>0)$ ．
（2）$\displaystyle x \ln x+a=0$ ．
（3） $\displaystyle \ln x=a x^{2}, ~(a>0)$ 。

23．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．

34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 有二阶导数，且 $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$ ．试证：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．
（2）设 函 数 $\displaystyle f(x) \in C^{2}(\mathbf{R})$ ，且 $\displaystyle f(x+h)+f(x-h)-2 f(x) \leqslant 0, x \in \mathbf{R}, \forall h>0$ ．证 明 $\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}$ ， $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．

36．设 $\displaystyle a_{n}>0, \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=1$ ，定义函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}-x$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 内的下凸函数； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 内有根的充要条件是 $\displaystyle f^{\prime}(1)>0$ ．

38．设 $\displaystyle 0<x<1$ ，求 $\displaystyle S(x)=x^{k}(1-x)^{2 k}$ 的极值．

39．函数 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{t-1}{32}\right) \mathrm{d} t, x \in(1,+\infty)$ 在何处取最小值？