极值的定义（极大值、极小值）
按知识点浏览 · 共 25 题
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \left|g^{\prime \prime}(x)\right| \geqslant m>0$（ $\displaystyle m$ 为常数），又 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|g(x)| \geqslant \frac{m}{8}(b-a)^{2}$ ．
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且有有限导数，$\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(\eta)$ 。
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $\displaystyle f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且有有限导数，$\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(\eta)$ 。
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $\displaystyle f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，且有界，证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次连续可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f(x), \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．证明存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 二阶可微，且 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 。证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi_{1} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi_{2} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内具有连续的二阶导数，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)<0$ 且 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant a>0, a$ 为常数．求证：存在唯一 $\displaystyle x^{*} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=\inf _{x>0} f(x)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，且有界，证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次连续可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f(x), \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．证明存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 二阶可微，且 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 。证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi_{1} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi_{2} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内具有连续的二阶导数，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)<0$ 且 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant a>0, a$ 为常数．求证：存在唯一 $\displaystyle x^{*} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=\inf _{x>0} f(x)$ ．
第12题未分类
12．确定 $\displaystyle A$ 最小正数，使不等式成立： $\displaystyle \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant A\left(x^{2}+y^{2}\right), \forall x>0, y>0$ 。
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有三阶导函数且 $\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ 及 $\displaystyle f(b)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在一点 $\displaystyle c$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(c)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且三阶可导，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有两个不同实根。证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，且在 $\displaystyle (a, b)$ 取最大值．试证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 两次连续可微，满足 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在整个实轴上具有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \beta$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\beta)=0$ ．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上存在二阶导数，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则对 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x) \neq 0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有三阶导函数且 $\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ 及 $\displaystyle f(b)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在一点 $\displaystyle c$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(c)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且三阶可导，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有两个不同实根。证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，且在 $\displaystyle (a, b)$ 取最大值．试证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 两次连续可微，满足 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在整个实轴上具有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \beta$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\beta)=0$ ．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上存在二阶导数，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则对 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x) \neq 0$ ．
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．
第16题求解题
16．已知不等式 $\displaystyle A \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x \geqslant 1$ 对一切 $\displaystyle x \in(1,+\infty)$ 成立，求常数 $\displaystyle A$ 的取值范围．
第18题证明题
18．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1, p \geqslant 1$ ．
第19题证明题
19．证明下列不等式：
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 二阶连续可导，$\displaystyle M=\max _{[0, T]} f(x), m=\min _{[0, T]} f(x)$ ．证明：
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
第20题证明题
20．证明抛物面 $\displaystyle z=1+x^{2}+y^{2}$ 上任意点处的切平面与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体体积为定值．
第22题证明题
22．如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内连续，$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ．（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ；（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ；（3）证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处取得极小值．
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）假设 $\displaystyle f(x)$ 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数 $\displaystyle x$ ，满足 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ 且满足 $\displaystyle (f(0))^{2}+\left(f^{\prime}(0)\right)^{2}=4$ 。证明：存在实数 $\displaystyle x_{0}$ ，满足 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)+f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ，又 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f^{\prime}(0)\right]^{2}+f^{3}(0)>\frac{2}{3}$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-2,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)+3 f^{2}\left(x_{0}\right)=0$ ．
（1）假设 $\displaystyle f(x)$ 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数 $\displaystyle x$ ，满足 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ 且满足 $\displaystyle (f(0))^{2}+\left(f^{\prime}(0)\right)^{2}=4$ 。证明：存在实数 $\displaystyle x_{0}$ ，满足 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)+f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ，又 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f^{\prime}(0)\right]^{2}+f^{3}(0)>\frac{2}{3}$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-2,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)+3 f^{2}\left(x_{0}\right)=0$ ．
第24题证明题
24．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
第25题证明题
25．一个函数 $\displaystyle f(x):[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 称作上半连续的，假如对给定的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 及 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在一个 $\displaystyle \delta>0$ ，使得若 $\displaystyle y \in[a, b],|y-x|<\delta$ ，则 $\displaystyle f(x)<f(y)+\varepsilon$ ．证明：$\displaystyle [a, b]$ 上的上半连续函数是有上界的，且在某个点 $\displaystyle c \in[a, b]$ 处达到最大值．
第27题证明题
27．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{(1-x)^{2}} \geqslant(a+b)^{3},(0<x<1)$ ．
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 个连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)<A<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 有最小值．
（5）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty), \lim _{x \rightarrow x} f(f(x))=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 的最小值 $\displaystyle f(a)<a$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 至少在两个点处取到它的最小值。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 个连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)<A<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 有最小值．
（5）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty), \lim _{x \rightarrow x} f(f(x))=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 的最小值 $\displaystyle f(a)<a$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 至少在两个点处取到它的最小值。
第30题证明题
30．设 $\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant c>0$（ $\displaystyle c$ 为常数）．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ；（2）$\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 必有最小值．
第39题未分类
39．函数 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{t-1}{32}\right) \mathrm{d} t, x \in(1,+\infty)$ 在何处取最小值？
第40题证明题
40．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ ．证明：
（1）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \sin \eta\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)=f(b) \sin \xi$ ．
（1）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \sin \eta\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)=f(b) \sin \xi$ ．
第55题证明题
55．设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(a x^{2}+b x+c\right), x \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle c(b-c) \geqslant 0$ ．证明存在非负单调数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle f^{(n)}\left(x_{n}\right)=0, n \geqslant 1$ 。