极值问题（极值的必要条件、充分条件、条件极值）
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第1题求解题
1．求下列函数的极值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=(x-y+1)^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2} y(4-x-y), x>0, y>0$ ．
（3）$\displaystyle f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right) \cdot($ 山东师大 2008）
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ ．
（5）$\displaystyle w=x+y+z+\frac{1}{x y z}$ ．
（6）$\displaystyle w=\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)}$ ．
（1）$\displaystyle f(x, y)=(x-y+1)^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2} y(4-x-y), x>0, y>0$ ．
（3）$\displaystyle f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right) \cdot($ 山东师大 2008）
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ ．
（5）$\displaystyle w=x+y+z+\frac{1}{x y z}$ ．
（6）$\displaystyle w=\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)}$ ．
第2题证明题
2．证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x-y \mathrm{e}^{y}$ 有无穷多个极大值，但无极小值．
第3题求解题
3．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{2}-6 x+2 y+1$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 处的二阶带佩亚型诺余项的泰勒公式．问 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由．
第4题求解题
4．求下列隐函数的极值．
（1）求由方程 $\displaystyle x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
（2）求由方程 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值．
（3）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值．
（1）求由方程 $\displaystyle x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
（2）求由方程 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值．
（3）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值．
第5题证明题
5．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $\displaystyle x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $\displaystyle f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$\displaystyle f(x, y)$ 没有极大值点．
（1）函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $\displaystyle x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $\displaystyle f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$\displaystyle f(x, y)$ 没有极大值点．
第7题求解题
7．求下列函数的最大值与最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$.
（2）$\displaystyle f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ ．
（1）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$.
（2）$\displaystyle f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ ．
第11题未分类
11．确定下列函数在指定区域的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\displaystyle D: x+y \leqslant 2 \pi, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 上的最大值和最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\cos y+\cos (x-y)$ 在区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ 上的最大值和最小值．
（3）证明： $\displaystyle \sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y) \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8}, 0<x, y<\pi$ ．
（4）设 $\displaystyle x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求 $\displaystyle 2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\displaystyle D: x+y \leqslant 2 \pi, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 上的最大值和最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\cos y+\cos (x-y)$ 在区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ 上的最大值和最小值．
（3）证明： $\displaystyle \sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y) \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8}, 0<x, y<\pi$ ．
（4）设 $\displaystyle x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求 $\displaystyle 2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>f(a)$ ．试证明：存在两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。若存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>\max \{f(a), f(b)\}$ ．试证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>f(a)$ ．试证明：存在两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。若存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>\max \{f(a), f(b)\}$ ．试证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
第12题求解题
12．求下列函数的条件极值．
（1）求 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y-1=0$ 下的极值．
（2）求 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ 在约束条件 $\displaystyle x+y+z=2, x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$ 下的极值，并判断极值的类型．
（1）求 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y-1=0$ 下的极值．
（2）求 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ 在约束条件 $\displaystyle x+y+z=2, x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$ 下的极值，并判断极值的类型．
第13题求解题
13．求下列函数在条件 $\displaystyle x y z=1$ 下的极值．
（1）$\displaystyle f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ ．
（1）$\displaystyle f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ ．
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0, a)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(0)\right|+\left|f^{\prime}(a)\right| \leqslant M a$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶导数，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(a)\right|+\left|f^{\prime}(b)\right| \leqslant M(b-a)$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 1$ 。求证 $\displaystyle \left|f^{\prime}(0)-f^{\prime}(1)\right| \geqslant 1$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0, a)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(0)\right|+\left|f^{\prime}(a)\right| \leqslant M a$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶导数，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(a)\right|+\left|f^{\prime}(b)\right| \leqslant M(b-a)$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 1$ 。求证 $\displaystyle \left|f^{\prime}(0)-f^{\prime}(1)\right| \geqslant 1$ ．
第14题求解题
14．若变量 $\displaystyle x, y, z, t$ 满足 $\displaystyle x y z t=c^{4}$ ，其中 $\displaystyle c$ 为常数，求函数 $\displaystyle f(x, y, z, t)=x+y+z+t$ 在上述条件下的极值．
第17题求解题
17．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $\displaystyle a>b>c>0$ 。
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(x>0, y>0, z>0)$ 在条件 $\displaystyle x y z=a^{3}$ 下的最小值．
（1）$\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $\displaystyle a>b>c>0$ 。
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(x>0, y>0, z>0)$ 在条件 $\displaystyle x y z=a^{3}$ 下的最小值．
第19题证明题
19．当 $\displaystyle x>0, y>0, z>0$ 时，求函数 $\displaystyle u=\ln x+2 \ln y+3 \ln z$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 r^{2}$ 上的最大值，并证明对任意的正实数 $\displaystyle a, b, c$ 成立不等式 $\displaystyle a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}$ ．
第20题证明题
20．求下列函数在条件 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\left(x_{i}>0\right)$ 限制下的大（小）值，并证不等式．
（1）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 。并证明 $\displaystyle \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ 。
（2）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2},\left(a_{i}>0\right)$ ，并证明
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．
（1）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 。并证明 $\displaystyle \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ 。
（2）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2},\left(a_{i}>0\right)$ ，并证明
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．
第21题求解题
21．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}(x>0, y>0, z>0)$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的极值点和最值．
（2）求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)(n$ 为正整数 $\displaystyle )$ 在条件 $\displaystyle x+y=a,(x>0, y>0, a>0)$ 下的极值，并证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right) \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\left(a_{i}>0\right)$ 在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leqslant 1$ 限制下的最小值．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}(x>0, y>0, z>0)$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的极值点和最值．
（2）求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)(n$ 为正整数 $\displaystyle )$ 在条件 $\displaystyle x+y=a,(x>0, y>0, a>0)$ 下的极值，并证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right) \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\left(a_{i}>0\right)$ 在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leqslant 1$ 限制下的最小值．
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）中心在原点的 $\displaystyle A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $\displaystyle l$ 是下列行列
式的最大实根 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A-l^{-2} & D & F \\ D & B-l^{-2} & E \\ F & E & C-l^{-2}\end{array}\right|$
（2）设 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵，定义 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}$ 上的齐二次函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ ．证明：函数 $\displaystyle h(x)$ 在条件 $\displaystyle \sum_{1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 下的最小值是 $\displaystyle A$ 的最小特征值．
（1）中心在原点的 $\displaystyle A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $\displaystyle l$ 是下列行列
式的最大实根 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A-l^{-2} & D & F \\ D & B-l^{-2} & E \\ F & E & C-l^{-2}\end{array}\right|$
（2）设 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵，定义 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}$ 上的齐二次函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ ．证明：函数 $\displaystyle h(x)$ 在条件 $\displaystyle \sum_{1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 下的最小值是 $\displaystyle A$ 的最小特征值．
第23题求解题
23．求解下列各题．
（1）求点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 至平面 $\displaystyle A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离．
（2）已知平面上 $\displaystyle n$ 个点的坐标分别是 $\displaystyle A_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, A_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，试求一点，使它与这
$\displaystyle n$ 个点距离的平方和最小．
（3）求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标．
（4）求点 $\displaystyle (0,0, c)$ 到曲面 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的最短距离， $\displaystyle 0<a<b, c>0$ ．
（1）求点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 至平面 $\displaystyle A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离．
（2）已知平面上 $\displaystyle n$ 个点的坐标分别是 $\displaystyle A_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, A_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，试求一点，使它与这
$\displaystyle n$ 个点距离的平方和最小．
（3）求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标．
（4）求点 $\displaystyle (0,0, c)$ 到曲面 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的最短距离， $\displaystyle 0<a<b, c>0$ ．
第24题求解题
24．求解下列各题．
（1）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离．
（2）利用拉格朗日乘数法，求平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 与椭球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 所截的椭圆的面积．
（3）求 $\displaystyle a, b$ 的值，使得椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 包含圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，且面积最小．
（1）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离．
（2）利用拉格朗日乘数法，求平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 与椭球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 所截的椭圆的面积．
（3）求 $\displaystyle a, b$ 的值，使得椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 包含圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，且面积最小．
第25题求解题
25．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle a>0$ ，求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上的点到 $\displaystyle x O y$ 平面的最大和最小距离．
（2）已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $\displaystyle C$ 距离 $\displaystyle x O y$ 面最远的点和最近的点．
（3）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=4$ 的交线的最高点和最低点的坐标．
（1）设 $\displaystyle a>0$ ，求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上的点到 $\displaystyle x O y$ 平面的最大和最小距离．
（2）已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $\displaystyle C$ 距离 $\displaystyle x O y$ 面最远的点和最近的点．
（3）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=4$ 的交线的最高点和最低点的坐标．
第26题求解题
26．求解下列各题．
（1）求抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 和直线 $\displaystyle x-y-2=0$ 之间的最短距离．
（2）求直线 $\displaystyle 4 x+3 y=16$ 与椭圆 $\displaystyle 18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
（3）求平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1(x, y, z>0)$ 之间的最短距离．
（4）求抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 交线上的点到原点的最大距离与最小距离．
（1）求抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 和直线 $\displaystyle x-y-2=0$ 之间的最短距离．
（2）求直线 $\displaystyle 4 x+3 y=16$ 与椭圆 $\displaystyle 18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
（3）求平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1(x, y, z>0)$ 之间的最短距离．
（4）求抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 交线上的点到原点的最大距离与最小距离．
第27题证明题
27．证明下列命题。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x)-f(x)=0$ ，其中 $\displaystyle g(x)$ 为任一函数。证明：若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)=0\left(x_{0}<x_{1}\right)$ ，则在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{1}\right]: f(x) \equiv 0$ 。中山大学 2012，扬州大学 2011，上海理工 2004）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \leqslant\left|f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．试证：$\displaystyle \exists \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x)-f(x)=0$ ，其中 $\displaystyle g(x)$ 为任一函数。证明：若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)=0\left(x_{0}<x_{1}\right)$ ，则在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{1}\right]: f(x) \equiv 0$ 。中山大学 2012，扬州大学 2011，上海理工 2004）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \leqslant\left|f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．试证：$\displaystyle \exists \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
第27题求解题
27．求解下列各题．
（1）求两曲面 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点．
（2）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}=1$ 上距离平面 $\displaystyle 3 x+4 y+12 z=228$ 最近和最远的点．
（1）求两曲面 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点．
（2）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}=1$ 上距离平面 $\displaystyle 3 x+4 y+12 z=228$ 最近和最远的点．
第28题求解题
28．求解下列各题．
（1）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在第一卦限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0, c>0, M(a, b, c)$ 为曲面 $\displaystyle S: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 上任一点，求曲面 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle M$ 的切平面 $\displaystyle \pi$ 的三个截距之积 $\displaystyle u$ 的最大值．
（3）证明过曲面 $\displaystyle x y z=a^{3},(a>0)$ 上任意一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为常数．
（4）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $\displaystyle a$ ．
（5）证明曲面 $\displaystyle x^{\frac{n}{n+1}}+y^{\frac{n}{n+1}}+z^{\frac{n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}},\left(n \in \mathbf{Z}^{+}, a>0\right)$ 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距的 $\displaystyle n$ 次方之和为 $\displaystyle a^{n}$ 。
（6）在曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1,(x>0, y>0, z>0)$ 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．
（1）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在第一卦限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0, c>0, M(a, b, c)$ 为曲面 $\displaystyle S: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 上任一点，求曲面 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle M$ 的切平面 $\displaystyle \pi$ 的三个截距之积 $\displaystyle u$ 的最大值．
（3）证明过曲面 $\displaystyle x y z=a^{3},(a>0)$ 上任意一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为常数．
（4）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $\displaystyle a$ ．
（5）证明曲面 $\displaystyle x^{\frac{n}{n+1}}+y^{\frac{n}{n+1}}+z^{\frac{n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}},\left(n \in \mathbf{Z}^{+}, a>0\right)$ 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距的 $\displaystyle n$ 次方之和为 $\displaystyle a^{n}$ 。
（6）在曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1,(x>0, y>0, z>0)$ 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．
第29题未分类
29．在变力 $\displaystyle F=y z i+z x j+x y k$ 作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 第一象限的点 $\displaystyle M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时， $\displaystyle \boldsymbol{F}$ 所做的功 $\displaystyle W$ 最大，并求 $\displaystyle W$ 的最大值．
第33题证明题
33．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的可微函数，且有 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow+\infty}\left(x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}\right)=a>0$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。试证明： $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \neq 0$ 。试证明： $\displaystyle z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
（3）函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数且 $\displaystyle f_{y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $\displaystyle c, f(x, y)=c$ 是一条直线的充要条件是：$\displaystyle f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的可微函数，且有 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow+\infty}\left(x f_{x}^{\prime}+y f_{y}^{\prime}\right)=a>0$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。试证明： $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \neq 0$ 。试证明： $\displaystyle z=f(x, y)$ 的最大值和最小值只能在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
（3）函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数且 $\displaystyle f_{y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $\displaystyle c, f(x, y)=c$ 是一条直线的充要条件是：$\displaystyle f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}=0$ ．