极限的保号性
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第1题证明题
1．设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：$\displaystyle A=0$ ．
第4题证明题
4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
第5题证明题
5．证明下列命题（导数的介值性）．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．
第5题证明题
5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第6题证明题
6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有两个零点．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有两个零点．