柯西中值定理（Cauchy定理）

8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，可导，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)=a$ 存在且有限。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，存在有限极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} f^{\prime}(x)(\alpha \in(0,1))$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界。求证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；（3）若将条件＂$\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界＂改为＂ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在＂，试问还能否推出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。若肯定请证明，若否定请举例说明．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle 0<\alpha<1, \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} f^{\prime}(x)=a$ 。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，$\displaystyle \sqrt{x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，记 $\displaystyle g(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续．

10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle x^{2}\left|g^{\prime}\left(x^{3}\right)\right|<\frac{1}{3} f^{\prime}(x)$ 。求证：当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$ 存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．

15．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时， $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1, f(0)=0$ 。证 $\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明

$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $\displaystyle f(x)$ ．

16．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导数，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．证明 $\displaystyle x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界．证明 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=O(x), x \rightarrow+\infty$ 。试证：$\displaystyle f(x)=O\left(x^{2}\right), x \rightarrow+\infty$ 。中科大 2012）

18．函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(\xi)(f(b)-f(a))$ ．
（2）若 $\displaystyle \forall x \in(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$ ．
（3）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格递减，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=1$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{1-g(\xi)}{f(\xi)-1}=\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$ ．
（4）若 $\displaystyle g(x) \neq 0,|f(x)|+|g(x)| \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}=\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$ ．

35．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ ．若极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明：（1）在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle f(x)>0$ ；（2）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ； （3）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在与（2）中 $\displaystyle \xi$ 不同的点 $\displaystyle \eta$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)\left(b^{2}-a^{2}\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明存在 $\displaystyle \xi \in[1,+\infty)$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京师大 1998）
（3）已知 $\displaystyle b>a>0$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{e}^{-2 x} \cos 2 x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\xi}{a}$ ．

37．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \frac{a f(b)-b f(a)}{b-a}=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle \frac{1}{a^{m}-b^{m}}\left|\begin{array}{cc}a^{m} & b^{m} \\ f(a) & f(b)\end{array}\right|=f(\xi)-\frac{\xi}{m} f^{\prime}(\xi)$ ，其中 $\displaystyle m$ 为正整数．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\frac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi) .
$$

（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$.
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle g(x)>0$ ，设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) g(\xi) \ln \frac{g(b)}{g(a)}$ ．

41．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (0<a<b), f(a) \neq f(b)$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle 0<a<b$ ．证明存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}{ }^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)$ 。电子科技 2013，深圳大学 2012，湖南大学 2007，南京航空，陕西师大2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{a b}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b, f(a) \neq f(b)$ ．证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\eta)(b-a)}{\ln b-\ln a}$ ．

42．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}$ ．