柯西收敛准则（Cauchy准则）
按知识点浏览 · 共 24 题
第1题未分类
1．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$存在。湖南师大 2012，昆明理工 2007，南昌大学 2002，青岛科技 2011，矿业大学 2011，地质大学 2004，天津大学 2003，浙江师大 2010，天津工大 2005，华东理工 2001／2004，山东大学 1981，南开大学 1984，北京交大 2011 ，大连海事 2003，西安电子科技 2006，华侨大学 2009，东北大学 2007／1999／1997，西安交大 1998，郑州大学 2003，首都师大 2002／2001，深圳大学 2008，东华大学 2001）
第2题证明题
2．若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调下降，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ； （3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle x f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle x f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $\displaystyle +\infty$ ），则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle \lambda$ 为常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $\displaystyle +\infty$ ），则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle \lambda$ 为常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上非一致连续．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $\displaystyle +\infty$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 为单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $\displaystyle +\infty$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 为单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
第9题证明题
9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在（有限）证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的最值；（3）逆命题＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在＂是否成立？（请给出证明或反例）．
第10题证明题
10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle x^{2}\left|g^{\prime}\left(x^{3}\right)\right|<\frac{1}{3} f^{\prime}(x)$ 。求证：当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$ 存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle x^{2}\left|g^{\prime}\left(x^{3}\right)\right|<\frac{1}{3} f^{\prime}(x)$ 。求证：当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$ 存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．
第16题证明题
16．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有定义。试证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是对区间 $\displaystyle I$上任意的两数列 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle I$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列（即当 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 序列时，$\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列）。
（3）（I）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ．
（II）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续，证明存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ．
（4）若对于 $\displaystyle f(x)$ 定义域 $\displaystyle (a, b)$ 中任一收敛数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 连续，$\displaystyle f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ ，且对任意数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ ，数列 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 都收敛且极限不为零，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$ ；（2）存在 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle \left|\frac{1}{f(x)}\right| \leqslant C$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在．若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续，结论还成立吗？
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有定义。试证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是对区间 $\displaystyle I$上任意的两数列 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle I$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列（即当 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 序列时，$\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列）。
（3）（I）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ．
（II）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续，证明存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ．
（4）若对于 $\displaystyle f(x)$ 定义域 $\displaystyle (a, b)$ 中任一收敛数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 连续，$\displaystyle f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ ，且对任意数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ ，数列 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 都收敛且极限不为零，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$ ；（2）存在 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle \left|\frac{1}{f(x)}\right| \leqslant C$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在．若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续，结论还成立吗？
第19题证明题
19．证明下列结论或求极限．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，
则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，
则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．
第23题证明题
23．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上的函数，在每一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=A$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x+T)-f(x))=A, T>0$ ，求证：$\displaystyle A=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续且有界，并且 $\displaystyle \forall x>0, f(x+1) \neq f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(f(n)-f(n-1))=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x)$ 在每一个有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界，并满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)}=A$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=A$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上的函数，在每一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=A$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x+T)-f(x))=A, T>0$ ，求证：$\displaystyle A=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续且有界，并且 $\displaystyle \forall x>0, f(x+1) \neq f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(f(n)-f(n-1))=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x)$ 在每一个有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界，并满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)}=A$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=A$ 。
第25题证明题
25．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\cdots+\frac{\sin n}{2^{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（3）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\cos 1}{\mathrm{e}}+\frac{\cos 2}{\mathrm{e}^{2}}+\cdots+\frac{\cos n}{\mathrm{e}^{n}}$ ，按提示思路利用三种不同的方法证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
提示：I 利用 cauchy 准则；II 利用绝对收敛和收敛的关系；III 利用 dirichlet 判别法；IV 其他方法。
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散。
（6）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（1）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\cdots+\frac{\sin n}{2^{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（3）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\cos 1}{\mathrm{e}}+\frac{\cos 2}{\mathrm{e}^{2}}+\cdots+\frac{\cos n}{\mathrm{e}^{n}}$ ，按提示思路利用三种不同的方法证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
提示：I 利用 cauchy 准则；II 利用绝对收敛和收敛的关系；III 利用 dirichlet 判别法；IV 其他方法。
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散。
（6）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
第25题证明题
25．证明：（1）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，又设极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \neq 0$ ．证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 发散．
第29题未分类
29．若瑕积分 $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（ $\displaystyle a$ 是㻓点），那么 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。并举例说明命题的逆不成立．
第30题证明题
30．设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle U\left(x_{0}, \delta\right)(\delta>0)$ 内一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f_{n}(x)=a_{n}, n \in \mathbf{N}$ ．证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$收玫．
第35题证明题
35．叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之．（北京大学 2014（用致密性定理证明），中山大学 2013，浙江大学 2003，安徽大学 2002，北京科技 2012）
第38题证明题
38．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．
第40题证明题
40．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 是两个非负无穷数列，$\displaystyle x_{n+1} \leqslant x_{n}+a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为非负数列，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}+\frac{1}{n^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是正数列，对所有自然数 $\displaystyle m, n$ 成立 $\displaystyle x_{n+m} \leqslant x_{n}+x_{m},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,\left(1-x_{n+1}\right) x_{n}>\frac{1}{4},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ 。
（1）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 是两个非负无穷数列，$\displaystyle x_{n+1} \leqslant x_{n}+a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为非负数列，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}+\frac{1}{n^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是正数列，对所有自然数 $\displaystyle m, n$ 成立 $\displaystyle x_{n+m} \leqslant x_{n}+x_{m},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,\left(1-x_{n+1}\right) x_{n}>\frac{1}{4},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ 。
第43题证明题
43．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界．证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} g(x) u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(x) S(x)$ 。
（2）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．函数列 $\displaystyle \left\{b_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}(x) b_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫．$\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+},\left|b_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}(x), x \in I$ ．证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．$\displaystyle \cdots$
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界．证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} g(x) u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(x) S(x)$ 。
（2）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．函数列 $\displaystyle \left\{b_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}(x) b_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫．$\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+},\left|b_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}(x), x \in I$ ．证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．$\displaystyle \cdots$
第44题未分类
44．设 $\displaystyle D \subset(-\infty,+\infty), x_{0}$ 为 $\displaystyle D$ 的极限点，则当级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 一致收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=a_{n}$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
第48题证明题
48．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 的某个去心邻域 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0}\right)=\left\{x\left|0<x-x_{0}\right|<\delta\right\}$ 一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=c_{n}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 。