根式判别法（柯西判别法）
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第1题求解题
1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n(n+1)} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 。华南理工 2014，苏州科技 2012，武汉大学 1999，山西师大 2008）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) x^{n}$ 。
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}} x^{n}(\alpha>0)$ 。北京师大 2003）
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} x^{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n(n+1)} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 。华南理工 2014，苏州科技 2012，武汉大学 1999，山西师大 2008）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) x^{n}$ 。
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}} x^{n}(\alpha>0)$ 。北京师大 2003）
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} x^{n}$ ．
第2题求解题
2．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}{n} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime}=x+y$ 且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}{n} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime}=x+y$ 且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
第3题求解题
3．求下列幂级数的收玫域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{x-1}{2 x+1}\right)^{n^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right)\left(\frac{3+x}{3-2 x}\right)^{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{x-1}{2 x+1}\right)^{n^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right)\left(\frac{3+x}{3-2 x}\right)^{n}$ ．
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
第15题讨论/判定题
15．正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a_{n}}\right)^{n}$ 的敛散性．
第33题证明题
33．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle x=1$ 有定义，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散。已知极限 $\displaystyle l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|2 a_{n}\right|}$ 存在，求 $\displaystyle l$ ，并证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
第38题求解题
38．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续且恒正，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a_{n}}$ 的收玫域．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [1,2]$ 上的正值连续函数，令 $\displaystyle M_{n}=\int_{1}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{M_{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R$ 满足 $\displaystyle 1 \leqslant R \leqslant 2$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续且恒正，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a_{n}}$ 的收玫域．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [1,2]$ 上的正值连续函数，令 $\displaystyle M_{n}=\int_{1}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{M_{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R$ 满足 $\displaystyle 1 \leqslant R \leqslant 2$ 。
第42题证明题
42．证明下列结论．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．