格林公式
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第1题计算题
1．计算下列第二型曲线积分，其中有向曲线 $\displaystyle L$ 为沿着正弦曲线 $\displaystyle y=\sin x$ ，由点 $\displaystyle O(0,0)$ 到点 $\displaystyle A(\pi, 0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y .(a=1:$ 北京大学 2015，武汉理工 2009，湖南大学 2004，徐州师大 2007；$\displaystyle a=2$ ：东北大学 2003）
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y .(a=1:$ 北京大学 2015，武汉理工 2009，湖南大学 2004，徐州师大 2007；$\displaystyle a=2$ ：东北大学 2003）
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y$ 。
第2题求解题
2．在过原点 $\displaystyle O(0,0)$ 和点 $\displaystyle A(\pi, 0)$ 的曲线簇 $\displaystyle y=a \sin x(a>0)$ 中，求一条曲线 $\displaystyle L$ 使得从 $\displaystyle O$ 到 $\displaystyle A$的积分 $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ 的值最小．
第3题计算题
3．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{A B}\left(\mathrm{e}^{y} \sin x+m x\right) \mathrm{d} y+\left(\mathrm{e}^{y} \cos x-m y\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为按逆时针方向的 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 \pi x-\frac{3}{4} \pi^{2}$ 上半部的路线．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-a y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-b x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (a, 0)$ 经点 $\displaystyle M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}\right)$ 到点 $\displaystyle (b, 0)$的半圆周．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x-y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle (0,0)$的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}+x^{3}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半圆从点
$\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ 的路径。
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半部分，方向从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ ．
分析：添加曲线段使非闭积分曲线变成闭积分曲线，再利用格林公式．
（1） $\displaystyle \int_{A B}\left(\mathrm{e}^{y} \sin x+m x\right) \mathrm{d} y+\left(\mathrm{e}^{y} \cos x-m y\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为按逆时针方向的 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 \pi x-\frac{3}{4} \pi^{2}$ 上半部的路线．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-a y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-b x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (a, 0)$ 经点 $\displaystyle M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}\right)$ 到点 $\displaystyle (b, 0)$的半圆周．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x-y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle (0,0)$的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}+x^{3}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半圆从点
$\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ 的路径。
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半部分，方向从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ ．
分析：添加曲线段使非闭积分曲线变成闭积分曲线，再利用格林公式．
第4题计算题
4．设 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(a, 0)$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(y \geqslant 0, a>0)$ ，取逆时针方向，计算下列曲线积分。
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y, m$ 是常数．（湖南师大 2013，上海大学 2013，沈阳 工 大 2012，延安大学 2002，苏州科技 2009，南昌大学 2003，福州大学 2004，江苏大学 2004，湖北大学 2010，西北大学 2000，武汉理工 2007，北京科技 2008，天津大学 2003，广西大学 2004，北航 2007，兰州大学 2002，东华大学 $\displaystyle 2010(a=2)$ ，徐州师大 $\displaystyle 2006(m=1, a=2)$ ，上海理工 $\displaystyle 2005(m=8)$ ，宁波大学 $\displaystyle 2010(m=5)$ ，浙江师大 $\displaystyle 2010(m=2, L$ 为 $\displaystyle \left.(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\right)$
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2\right) \mathrm{d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} y-\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} x$ 。华中师大 $\displaystyle 2007 a=2$ ）
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y, m$ 是常数．（湖南师大 2013，上海大学 2013，沈阳 工 大 2012，延安大学 2002，苏州科技 2009，南昌大学 2003，福州大学 2004，江苏大学 2004，湖北大学 2010，西北大学 2000，武汉理工 2007，北京科技 2008，天津大学 2003，广西大学 2004，北航 2007，兰州大学 2002，东华大学 $\displaystyle 2010(a=2)$ ，徐州师大 $\displaystyle 2006(m=1, a=2)$ ，上海理工 $\displaystyle 2005(m=8)$ ，宁波大学 $\displaystyle 2010(m=5)$ ，浙江师大 $\displaystyle 2010(m=2, L$ 为 $\displaystyle \left.(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\right)$
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2\right) \mathrm{d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} y-\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} x$ 。华中师大 $\displaystyle 2007 a=2$ ）
第5题计算题
5．计算下列第二型曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^{x} \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周和从点 $\displaystyle B(-1,0)$ 到点 $\displaystyle A(1,0)$ 的直线段组成的闭路．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ ， $\displaystyle -1 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的弧段，$\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (0,0)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的上半圆周，逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^{x} \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周和从点 $\displaystyle B(-1,0)$ 到点 $\displaystyle A(1,0)$ 的直线段组成的闭路．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ ， $\displaystyle -1 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的弧段，$\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (0,0)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的上半圆周，逆时针方向．
第6题计算题
6．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}\left(\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \varphi(y), \varphi^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle \overparen{A M B}$ 是连接点 $\displaystyle A(1,2)$ 到点 $\displaystyle B(3,4)$ 的任意简单路径（方向从 $\displaystyle A$ 到 $\displaystyle B$ ），但它与直线 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle s>0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数， $\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 2)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle \pi$ 。
（3） $\displaystyle \int_{A M B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 4)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle a$ ．
分析：对非闭路的积分，常采用补加曲线变成闭曲线的积分．
（1） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}\left(\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \varphi(y), \varphi^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle \overparen{A M B}$ 是连接点 $\displaystyle A(1,2)$ 到点 $\displaystyle B(3,4)$ 的任意简单路径（方向从 $\displaystyle A$ 到 $\displaystyle B$ ），但它与直线 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle s>0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数， $\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 2)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle \pi$ 。
（3） $\displaystyle \int_{A M B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 4)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle a$ ．
分析：对非闭路的积分，常采用补加曲线变成闭曲线的积分．
第7题计算题
7．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} y-y^{2} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (a, a)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的圆周．
（2） $\displaystyle \int_{L} y \cos x \mathrm{~d} x+\left(x y^{2}+\sin x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 顺时针一周．
（1） $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} y-y^{2} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (a, a)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的圆周．
（2） $\displaystyle \int_{L} y \cos x \mathrm{~d} x+\left(x y^{2}+\sin x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 顺时针一周．
第8题计算题
8．计算曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle a$ 为半径，圆心在原点的右半圆周从点 $\displaystyle A(0, a)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$的一段。
（2） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ ，逆时针方向。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{2}\right) x \mathrm{~d} y+\left(1-x^{2}\right) y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（1） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle a$ 为半径，圆心在原点的右半圆周从点 $\displaystyle A(0, a)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$的一段。
（2） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ ，逆时针方向。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{2}\right) x \mathrm{~d} y+\left(1-x^{2}\right) y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
第9题计算题
9．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}(\sin x+y)^{2} \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2} \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 上从点 $\displaystyle (-1,1)$ 到 $\displaystyle (1,1)$ 的弧段．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 表示逆时针方向的左半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ， $\displaystyle (x \leqslant 0, a, b>0)$.
（3） $\displaystyle \int_{C} \frac{3 x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{4 y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（4） $\displaystyle \int_{c} \frac{x^{3} \mathrm{~d} x-y^{3} \mathrm{~d} y}{x^{4}+y^{4}}$ ．其中 $\displaystyle C$ 是单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针为正向．
（1） $\displaystyle \int_{L}(\sin x+y)^{2} \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2} \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 上从点 $\displaystyle (-1,1)$ 到 $\displaystyle (1,1)$ 的弧段．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 表示逆时针方向的左半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ， $\displaystyle (x \leqslant 0, a, b>0)$.
（3） $\displaystyle \int_{C} \frac{3 x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{4 y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（4） $\displaystyle \int_{c} \frac{x^{3} \mathrm{~d} x-y^{3} \mathrm{~d} y}{x^{4}+y^{4}}$ ．其中 $\displaystyle C$ 是单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针为正向．
第10题计算题
10．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{c} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle (x+2 y)^{2}+(3 x+2 y)^{2}=1$ ，方向为逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆周 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(3 x+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由直线 $\displaystyle y=0, x+2 y=2$ 及圆弧 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 (x \leqslant 0, y \geqslant 0)$ 所围区域 $\displaystyle D$ 的边界，积分方向取关于区域 $\displaystyle D$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2 n+1}+y^{2 n+1}=a x^{n} y^{n}, x>0, y>0$ ，逆时针方向。
（1） $\displaystyle \int_{c} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle (x+2 y)^{2}+(3 x+2 y)^{2}=1$ ，方向为逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆周 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(3 x+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由直线 $\displaystyle y=0, x+2 y=2$ 及圆弧 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 (x \leqslant 0, y \geqslant 0)$ 所围区域 $\displaystyle D$ 的边界，积分方向取关于区域 $\displaystyle D$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2 n+1}+y^{2 n+1}=a x^{n} y^{n}, x>0, y>0$ ，逆时针方向。
第12题计算题
12．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{\Gamma}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为依正方向以 $\displaystyle A(1,1), B(3,2), C(2,5)$ 为顶点的三角形三边围成的闭曲线。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(0,0)$ 沿曲线 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 到点 $\displaystyle B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的路径．
（1）$\displaystyle \oint_{\Gamma}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为依正方向以 $\displaystyle A(1,1), B(3,2), C(2,5)$ 为顶点的三角形三边围成的闭曲线。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(0,0)$ 沿曲线 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 到点 $\displaystyle B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的路径．
第13题计算题
13．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-x\right) \mathrm{d} y\left(L\right.$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 逆时针方向）．
（2） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 按 $\displaystyle x$ 轴增大方向．（中山大学 2011，华东理工 2004，复旦大学 2000 ，宁波大学 2011 ，湘潭大学 2005 ，西北大学 2004（ $\displaystyle \pi<x<3 \pi$ ））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(2 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 由点 $\displaystyle A(1,0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{R^{2}+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 由点 $\displaystyle A(R, 0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-R, 0)$ 的半圆（ $\displaystyle R>0$ 为常数）．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-x\right) \mathrm{d} y\left(L\right.$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 逆时针方向）．
（2） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 按 $\displaystyle x$ 轴增大方向．（中山大学 2011，华东理工 2004，复旦大学 2000 ，宁波大学 2011 ，湘潭大学 2005 ，西北大学 2004（ $\displaystyle \pi<x<3 \pi$ ））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(2 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 由点 $\displaystyle A(1,0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{R^{2}+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 由点 $\displaystyle A(R, 0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-R, 0)$ 的半圆（ $\displaystyle R>0$ 为常数）．
第14题计算题
14．计算下列第二型曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\mathrm{e}^{x}(x \sin y-y \cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(x \cos y+y \sin y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为包含原点的简单光滑闭曲线，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{C} \frac{\mathrm{e}^{y}}{x^{2}+y^{2}}[(x \sin x+y \cos x) \mathrm{d} x+(y \sin x-x \cos x) \mathrm{d} y]$ ，其中 $\displaystyle C: x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。南开大学 2007，华南理工 2008，上海财经 2007）
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{2}-\sin y^{2}\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 依逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos x^{2}-x^{2} y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{4 x^{2} y-\mathrm{e}^{y^{2}}}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为取逆时针方向的曲线：$\displaystyle x^{2}+4 y^{2}=1$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\mathrm{e}^{x}(x \sin y-y \cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(x \cos y+y \sin y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为包含原点的简单光滑闭曲线，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{C} \frac{\mathrm{e}^{y}}{x^{2}+y^{2}}[(x \sin x+y \cos x) \mathrm{d} x+(y \sin x-x \cos x) \mathrm{d} y]$ ，其中 $\displaystyle C: x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。南开大学 2007，华南理工 2008，上海财经 2007）
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{2}-\sin y^{2}\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 依逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos x^{2}-x^{2} y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{4 x^{2} y-\mathrm{e}^{y^{2}}}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为取逆时针方向的曲线：$\displaystyle x^{2}+4 y^{2}=1$ ．
第18题求解题
18．设 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x y$ 平面上的任意闭曲线，$\displaystyle L$ 所围成的面积为 $\displaystyle S$ ，且在曲线 $\displaystyle L$ 上满足条件 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{\mathrm{e}^{y}+2 x+3 y}{\mathrm{e}^{x}+x+y}$ ．试求 $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 取逆时针方向．
第21题证明题
21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 连续，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线，证明积分 $\displaystyle \int_{L} f\left(x^{2}+y^{2}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ 与积分路径无关．（南开大学 2003，苏州科技 2007，湖南大学，河北工大 2010，上海理工 2006，西北大学 2003，昆明理工 2007（ $\displaystyle f(r)=\ln r)$ ）
（2）设在上半平面 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且对任意的 $\displaystyle t>0$ 都有 $\displaystyle f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$ ，证明：对 $\displaystyle D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，都有
$$
\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0 \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle C$ 为对称于坐标轴的任一封闭曲线，计算积分
$$
\oint_{C} f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2} \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y\right) .
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 连续，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线，证明积分 $\displaystyle \int_{L} f\left(x^{2}+y^{2}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ 与积分路径无关．（南开大学 2003，苏州科技 2007，湖南大学，河北工大 2010，上海理工 2006，西北大学 2003，昆明理工 2007（ $\displaystyle f(r)=\ln r)$ ）
（2）设在上半平面 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且对任意的 $\displaystyle t>0$ 都有 $\displaystyle f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$ ，证明：对 $\displaystyle D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，都有
$$
\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0 \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle C$ 为对称于坐标轴的任一封闭曲线，计算积分
$$
\oint_{C} f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2} \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y\right) .
$$
第24题证明题
24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 $\displaystyle C$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ 的值为常数．
（1）设 $\displaystyle C$ 为正向闭曲线 $\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=1$ ，证明：$\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=0$ ；
（2）求函数 $\displaystyle \varphi(x)$ ；
（3）设 $\displaystyle C$ 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 $\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为常数，试证明：对右半平面 $\displaystyle x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle C \perp$ ，有 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0$ ，并求 $\displaystyle \varphi(y)$ 函数的表达式．
（1）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 $\displaystyle C$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ 的值为常数．
（1）设 $\displaystyle C$ 为正向闭曲线 $\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=1$ ，证明：$\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=0$ ；
（2）求函数 $\displaystyle \varphi(x)$ ；
（3）设 $\displaystyle C$ 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 $\displaystyle \oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ 上，曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为常数，试证明：对右半平面 $\displaystyle x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle C \perp$ ，有 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0$ ，并求 $\displaystyle \varphi(y)$ 函数的表达式．
第26题证明题
26．设 $\displaystyle P(x, y)$ 与 $\displaystyle Q(x, y)$ 为两个二次连续可微的函数，且使得对任何封闭曲线 $\displaystyle C$ ，如下曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} P(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} x+Q(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} y$ 与常数 $\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 无关，试证明 $\displaystyle \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}=k$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．
第27题证明题
27．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle L$ 为正方形区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 的正向边界，$\displaystyle f(x)$ 为正连续函数，证明：
$$
I=\oint_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2
$$
．
（2）设 $\displaystyle D$ 为由两条直线 $\displaystyle y=x, y=4 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1, x y=4$ 在第一象限所围成的区域，$\displaystyle F(u)$ 是具有连续导数的一元函数，记 $\displaystyle f(u)=F^{\prime}(u)$ ，证明： $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ 。其中 $\displaystyle \partial D$为区域 $\displaystyle D$ 的边界，逆时针方向．
（3）设区域 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 关于直线 $\displaystyle y=x$ 对称，面积为 2 ，函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续正函数，$\displaystyle a-b=2011$ ，求 $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \partial D$ 为 $\displaystyle D$ 的边界，取逆时针方向．
（1）设 $\displaystyle L$ 为正方形区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 的正向边界，$\displaystyle f(x)$ 为正连续函数，证明：
$$
I=\oint_{L} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2
$$
．
（2）设 $\displaystyle D$ 为由两条直线 $\displaystyle y=x, y=4 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1, x y=4$ 在第一象限所围成的区域，$\displaystyle F(u)$ 是具有连续导数的一元函数，记 $\displaystyle f(u)=F^{\prime}(u)$ ，证明： $\displaystyle \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} \mathrm{~d} y=\ln 2 \int_{1}^{4} f(u) \mathrm{d} u$ 。其中 $\displaystyle \partial D$为区域 $\displaystyle D$ 的边界，逆时针方向．
（3）设区域 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 关于直线 $\displaystyle y=x$ 对称，面积为 2 ，函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续正函数，$\displaystyle a-b=2011$ ，求 $\displaystyle \int_{\partial D}\left(\int_{0}^{y} \frac{b f(t)}{f(x)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x+\left(\int_{0}^{x} \frac{a f(t)}{f(y)+f(t)} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \partial D$ 为 $\displaystyle D$ 的边界，取逆时针方向．
第28题计算题
28．计算曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为任一不包含原点的闭区域的边界，方向逆时针；
（2）$\displaystyle L$ 为围绕原点的光滑闭曲线，取正向；
（3）$\displaystyle L$ 为不经过原点的简单闭曲线．
分析：若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则在此区域内曲线积分与路径无关。
若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，那么 $\displaystyle P, Q$ 在 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域上不满足格林公式。此时，取一条特殊的封闭光滑曲线 $\displaystyle L_{1}$ ，在 $\displaystyle L+L_{1}$ 上应用 Green 公式，将 $\displaystyle L$ 上的曲线积分转化为 $\displaystyle L_{1}$ 上的曲线积分．
（1）$\displaystyle L$ 为任一不包含原点的闭区域的边界，方向逆时针；
（2）$\displaystyle L$ 为围绕原点的光滑闭曲线，取正向；
（3）$\displaystyle L$ 为不经过原点的简单闭曲线．
分析：若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则在此区域内曲线积分与路径无关。
若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，那么 $\displaystyle P, Q$ 在 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域上不满足格林公式。此时，取一条特殊的封闭光滑曲线 $\displaystyle L_{1}$ ，在 $\displaystyle L+L_{1}$ 上应用 Green 公式，将 $\displaystyle L$ 上的曲线积分转化为 $\displaystyle L_{1}$ 上的曲线积分．
第29题计算题
29．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半椭圆．（湖北大学 $\displaystyle 2003\left(x^{2}+4 y^{2}=1\right)$ ，聊城大学 2011（ $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ ））
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为正．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正．
（1） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半椭圆．（湖北大学 $\displaystyle 2003\left(x^{2}+4 y^{2}=1\right)$ ，聊城大学 2011（ $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ ））
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为正．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正．
第30题计算题
30．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为平面上任一不包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（2）$\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（3）$\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线．
（1）$\displaystyle L$ 为平面上任一不包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（2）$\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（3）$\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线．
第31题未分类
31．设 $\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线，对曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ ， $\displaystyle \left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 有下列结论：
I 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=0$ ；
II 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{c_{1} c_{2}}}$ ．
III利用上述结论，求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R>1)$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=R^{2}(R \neq 1)$（按逆时针方向）．
（5） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (-1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=R^{2}, 0<R \neq 1$ ，取逆时针方向．（华南师大 2005，辽宁大学 2005，安徽大学 2009 \2007，东北大学 2003，聊城大学 2012，曲阜师大 2009（ $\displaystyle R=3$ ），苏州科技 2011）
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+9 y^{2}}, L$ 为取反时针方向的单位圆周．（湖南师大 2011，华中科大 2004／2003，宁波大学 2009（ $\displaystyle L: 4 x^{2}+9 y^{2}=1$ ，逆时针方向），福州大学 2009）
（8）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+9 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（9）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^{2}+3 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，逆时针方向．
（10）$\displaystyle I=\int_{c} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}=1$ 沿逆时针方向．
（11） $\displaystyle \int_{C} \frac{y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（12） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向．
I 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=0$ ；
II 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{c_{1} c_{2}}}$ ．
III利用上述结论，求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R>1)$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=R^{2}(R \neq 1)$（按逆时针方向）．
（5） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (-1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=R^{2}, 0<R \neq 1$ ，取逆时针方向．（华南师大 2005，辽宁大学 2005，安徽大学 2009 \2007，东北大学 2003，聊城大学 2012，曲阜师大 2009（ $\displaystyle R=3$ ），苏州科技 2011）
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+9 y^{2}}, L$ 为取反时针方向的单位圆周．（湖南师大 2011，华中科大 2004／2003，宁波大学 2009（ $\displaystyle L: 4 x^{2}+9 y^{2}=1$ ，逆时针方向），福州大学 2009）
（8）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+9 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（9）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^{2}+3 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，逆时针方向．
（10）$\displaystyle I=\int_{c} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}=1$ 沿逆时针方向．
（11） $\displaystyle \int_{C} \frac{y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（12） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向．
第32题证明题
32．设 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的正向光滑封闭简单曲线．试证明：曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} y-\left(y-y_{0}\right) \mathrm{d} x}{c_{1}\left(x-x_{0}\right)^{2}+c_{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 的值为常数，并求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-\left(y-2^{-1}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+\left(y-2^{-1}\right)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 从 $\displaystyle A(1,0)$ 经上半单位圆周到 $\displaystyle B(-1,0)$ ，再经过直线段 $\displaystyle B A$ 回到 $\displaystyle A$ 点．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} y}{(x+1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ ，取正向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-8 x=0$ ，取正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ ，取正向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{4(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周：$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，取正向．
（7）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x-1) \mathrm{d} y-(y-2) \mathrm{d} x}{4(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle (1,2)$ 得正向光滑封闭简单曲线．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-\left(y-2^{-1}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+\left(y-2^{-1}\right)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 从 $\displaystyle A(1,0)$ 经上半单位圆周到 $\displaystyle B(-1,0)$ ，再经过直线段 $\displaystyle B A$ 回到 $\displaystyle A$ 点．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} y}{(x+1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ ，取正向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-8 x=0$ ，取正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ ，取正向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{4(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周：$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，取正向．
（7）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x-1) \mathrm{d} y-(y-2) \mathrm{d} x}{4(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle (1,2)$ 得正向光滑封闭简单曲线．
第33题证明题
33．设 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向。证明：当 $\displaystyle a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 的值恒为常数，并求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(2 x-y) \mathrm{d} x+(2 y+x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向．（桂林电子科大2010）
（2）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上不过原点的任一光滑闭曲线，取逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为星形线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中为正方形 $\displaystyle |x|+|y| \leqslant 2$ 的边界，逆时针方向。
（8）$\displaystyle \oint_{C} \frac{(y+9 x) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{9 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为单位圆周，逆时针为正向．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(2 x-y) \mathrm{d} x+(2 y+x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向．（桂林电子科大2010）
（2）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上不过原点的任一光滑闭曲线，取逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为星形线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中为正方形 $\displaystyle |x|+|y| \leqslant 2$ 的边界，逆时针方向。
（8）$\displaystyle \oint_{C} \frac{(y+9 x) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{9 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为单位圆周，逆时针为正向．
第34题证明题
34．设 $\displaystyle L$ 为一条不通过原点的光滑曲线，取逆时针方向，证明：当 $\displaystyle a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ 与路径无关 $\displaystyle \left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ ，并求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y, a>0$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 经过 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$的线段。
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的一条不通过原点的光滑曲线：$\displaystyle y=f(x), x \in[-1,1]$ ，且当 $\displaystyle x \in(-1,1)$ 时，$\displaystyle f(x)>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-a, 0)$ 经上半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \geqslant b)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$ 的弧段．，华南师大2009）
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y=1-2 x^{2}$ 自点 $\displaystyle A(-1,1)$ 至点 $\displaystyle B(1,-1)$ 的弧段．
（1） $\displaystyle \int \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y, a>0$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 经过 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$的线段。
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的一条不通过原点的光滑曲线：$\displaystyle y=f(x), x \in[-1,1]$ ，且当 $\displaystyle x \in(-1,1)$ 时，$\displaystyle f(x)>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-a, 0)$ 经上半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \geqslant b)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$ 的弧段．，华南师大2009）
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y=1-2 x^{2}$ 自点 $\displaystyle A(-1,1)$ 至点 $\displaystyle B(1,-1)$ 的弧段．
第35题计算题
35．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\left((\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}\right)^{a}},|\alpha \delta-\beta r| \neq 0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆，$\displaystyle (\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{A x^{2}+2 B x y+C y^{2}}$ ，$\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的逆时针方向．（哈工大 2003，重庆大学 2013（A＝1））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{(x+y)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+x y+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为逆时针方向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5）$\displaystyle I=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} \frac{X \mathrm{~d} Y-Y \mathrm{~d} X}{X^{2}+Y^{2}}$ ，其中：$\displaystyle X=a x+b y, Y=c x+e y, L$ 为包围原点的简单闭曲线 $\displaystyle (a e-c b \neq 0)$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\left((\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}\right)^{a}},|\alpha \delta-\beta r| \neq 0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆，$\displaystyle (\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{A x^{2}+2 B x y+C y^{2}}$ ，$\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的逆时针方向．（哈工大 2003，重庆大学 2013（A＝1））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{(x+y)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+x y+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为逆时针方向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5）$\displaystyle I=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} \frac{X \mathrm{~d} Y-Y \mathrm{~d} X}{X^{2}+Y^{2}}$ ，其中：$\displaystyle X=a x+b y, Y=c x+e y, L$ 为包围原点的简单闭曲线 $\displaystyle (a e-c b \neq 0)$ ．
第36题计算题
36．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow \infty} \oint_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\delta}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \oint_{x^{2}+x y+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}$ ．（吉林师大 2003，浙江大学 2015（ $\displaystyle \left.\alpha=1\right) / 1984$ ）
（1） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow \infty} \oint_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\delta}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \oint_{x^{2}+x y+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}$ ．（吉林师大 2003，浙江大学 2015（ $\displaystyle \left.\alpha=1\right) / 1984$ ）
第38题证明题
38．证明下列结论．
（1）求证：$\displaystyle \oint_{L} \cos (l, n) \mathrm{d} s=0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上封闭曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 的外法向量，$\displaystyle l$ 为任意方向向量。
（2）设 $\displaystyle L$ 为有界单连通区域 $\displaystyle D$ 的边界，且是逐段光滑曲线．$\displaystyle A(\xi, \eta)$ 为平面上一定点，$\displaystyle r$ 为 $\displaystyle L$上点 $\displaystyle (x, y)$ 到点 $\displaystyle A$ 的向量，$\displaystyle r=r(x, y)$ 为 $\displaystyle r$ 的长度．证明：（1）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的内部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=0$ ； （2）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的外部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=2 \pi$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法向量，$\displaystyle (r, n)$ 为向量 $\displaystyle r$与 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的夹角．
（1）求证：$\displaystyle \oint_{L} \cos (l, n) \mathrm{d} s=0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上封闭曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 的外法向量，$\displaystyle l$ 为任意方向向量。
（2）设 $\displaystyle L$ 为有界单连通区域 $\displaystyle D$ 的边界，且是逐段光滑曲线．$\displaystyle A(\xi, \eta)$ 为平面上一定点，$\displaystyle r$ 为 $\displaystyle L$上点 $\displaystyle (x, y)$ 到点 $\displaystyle A$ 的向量，$\displaystyle r=r(x, y)$ 为 $\displaystyle r$ 的长度．证明：（1）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的内部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=0$ ； （2）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的外部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=2 \pi$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法向量，$\displaystyle (r, n)$ 为向量 $\displaystyle r$与 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的夹角．
第39题计算题
39．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $\displaystyle C$ 外法线的方向余弦，$\displaystyle A$ 是曲线 $\displaystyle C$ 围成区域的面积．
（2）$\displaystyle I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $\displaystyle L$ 的单位切向量，指向反时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $\displaystyle C$ 外法线的方向余弦，$\displaystyle A$ 是曲线 $\displaystyle C$ 围成区域的面积．
（2）$\displaystyle I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $\displaystyle L$ 的单位切向量，指向反时针方向．
第40题证明题
40．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ 。其中 $\displaystyle n$ 为曲线 $\displaystyle L$ 的外法线方向，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是函数 $\displaystyle u(x, y)$ 沿方向 $\displaystyle n$ 的方向导数．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上具有二阶连续的偏导数，证明 $\displaystyle u(x, y)$ 是调和函数（即 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0$ 的充要条件是对 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 内的任意光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，总有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ 。其中 $\displaystyle n$ 为曲线 $\displaystyle L$ 的外法线方向，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是函数 $\displaystyle u(x, y)$ 沿方向 $\displaystyle n$ 的方向导数．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上具有二阶连续的偏导数，证明 $\displaystyle u(x, y)$ 是调和函数（即 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0$ 的充要条件是对 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 内的任意光滑简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，总有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ．
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明：
$\displaystyle \iint_{D}\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿曲线 $\displaystyle L$ 的外法线 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的方向导数。
（2）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在由封闭的光滑曲线 $\displaystyle L$ 所围的区域 $\displaystyle D$ 上具有二阶连续偏导
数，$\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 。证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是沿 $\displaystyle L$ 的外法线的方向导数．
（3）设 $\displaystyle u(x, y), v(x, y)$ 是具有二阶连续偏导数的函数．证明：
$$
\iint_{D} v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s
$$
（4）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x y$ 平面上具有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 的有界区域，$\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle u$ 为非常值函数及 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega}=0$ ，证明： $\displaystyle \iint_{\Omega} u\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y<0$ ．
（1）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $\displaystyle L$ 所围成的区域 $\displaystyle D$ 上有二阶连续偏导数，试证明：
$\displaystyle \iint_{D}\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿曲线 $\displaystyle L$ 的外法线 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的方向导数。
（2）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在由封闭的光滑曲线 $\displaystyle L$ 所围的区域 $\displaystyle D$ 上具有二阶连续偏导
数，$\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 。证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是沿 $\displaystyle L$ 的外法线的方向导数．
（3）设 $\displaystyle u(x, y), v(x, y)$ 是具有二阶连续偏导数的函数．证明：
$$
\iint_{D} v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\oint_{L} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s
$$
（4）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x y$ 平面上具有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 的有界区域，$\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle u$ 为非常值函数及 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega}=0$ ，证明： $\displaystyle \iint_{\Omega} u\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y<0$ ．
第42题计算题
42．计算下列曲线积分．
（1）计算 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} x-\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, C$ 为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线，取逆时针方向。
（2）设 $\displaystyle C$ 为平面上有界区域 $\displaystyle D$ 的光滑边界曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle C$ 的外法向量，$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．分别就 $\displaystyle C$的两种情况计算 $\displaystyle I=\oint_{C} \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，这里 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 表示沿 $\displaystyle C$ 的外法线方向的导数．
（1）原点在区域 $\displaystyle D$ 的内部；
（2）原点在 $\displaystyle C$ 的外部．
（3）设 $\displaystyle u=x^{3}+2 y^{2}-x y$ ，求曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿 $\displaystyle C$ 外法线的方向导数．
（1）计算 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} x-\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, C$ 为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线，取逆时针方向。
（2）设 $\displaystyle C$ 为平面上有界区域 $\displaystyle D$ 的光滑边界曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle C$ 的外法向量，$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．分别就 $\displaystyle C$的两种情况计算 $\displaystyle I=\oint_{C} \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，这里 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 表示沿 $\displaystyle C$ 的外法线方向的导数．
（1）原点在区域 $\displaystyle D$ 的内部；
（2）原点在 $\displaystyle C$ 的外部．
（3）设 $\displaystyle u=x^{3}+2 y^{2}-x y$ ，求曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿 $\displaystyle C$ 外法线的方向导数．
第43题未分类
43．设 $\displaystyle D$ 是平面上的有界单连通区域，简单光滑曲线 $\displaystyle L$ 为其边界曲线，$\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}$ 上有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle D$ 内满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 .\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $\displaystyle D$ 内任意一点，定义函数 $\displaystyle r=r(x, y)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}},(x, y) \in \bar{D}$ 。
（1）设 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\displaystyle \varepsilon$ 为半径且含在 $\displaystyle D$ 内的正向圆周，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法线向量，$\displaystyle I_{\varepsilon}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L_{\varepsilon}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle s$ 为 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 的弧长变量。证明： $\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} I_{\varepsilon}=u\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（2）证明：$\displaystyle u\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法线向量， $\displaystyle s$ 为 $\displaystyle L$ 的弧长变量．
（1）设 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\displaystyle \varepsilon$ 为半径且含在 $\displaystyle D$ 内的正向圆周，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法线向量，$\displaystyle I_{\varepsilon}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L_{\varepsilon}}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle s$ 为 $\displaystyle L_{\varepsilon}$ 的弧长变量。证明： $\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} I_{\varepsilon}=u\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（2）证明：$\displaystyle u\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{L}\left(u(x, y) \frac{\partial \ln r}{\partial n}-\ln r \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法线向量， $\displaystyle s$ 为 $\displaystyle L$ 的弧长变量．
第44题计算题
44．设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, L$ 是 $\displaystyle D$ 的边界曲线，$\displaystyle L$ 取逆时针方向为正向．$\displaystyle n$ 是 $\displaystyle L$ 的外法线方向上的单位向量，$\displaystyle F(P(x, y), Q(x, y))$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的连续可微向量函数。计算极限： $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n d s}$ ．
第46题证明题
46．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微，证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 。令 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, n$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上任意一点的外法线方向， $\displaystyle 0<r<1$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} \theta=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} s=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-r^{2}}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ ，求证： $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\pi}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \iint_{D}^{1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 \mathrm{e}}$ ．
（1）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 。令 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, n$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上任意一点的外法线方向， $\displaystyle 0<r<1$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} \theta=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} s=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-r^{2}}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ ，求证： $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\pi}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \iint_{D}^{1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 \mathrm{e}}$ ．
第47题计算题
47．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微．试在下列条件下计算积分：
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．