梯度
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第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle n$ 次齐次方程，即 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y)=t^{n} f(x, y)$ ，且 $\displaystyle f$ 可微．证明在 $\displaystyle (x, y) \neq(0,0)$处有 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f(x, y)$ 。四川大学 2002，天津大学 2002，北京交大 2000）
（2）若 $\displaystyle f\left(t x_{1}, t x_{2}, \cdots, t x_{n}\right)=t^{k} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \forall t>0$ ，称 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的。证明：可微函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的 ⇔ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=k f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上的 $\displaystyle n$ 次齐次函数：对 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$ ，且具有一阶连续偏导数，$\displaystyle f_{z}^{\prime}(x, y, z) \neq 0$ ．若方程 $\displaystyle f(x, y, z)=0$ 确定了可微的隐函数 $\displaystyle z=g(x, y)$ ，证明：$\displaystyle z=g(x, y)$ 必为一次齐次函数．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle n$ 次齐次方程，即 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y)=t^{n} f(x, y)$ ，且 $\displaystyle f$ 可微．证明在 $\displaystyle (x, y) \neq(0,0)$处有 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f(x, y)$ 。四川大学 2002，天津大学 2002，北京交大 2000）
（2）若 $\displaystyle f\left(t x_{1}, t x_{2}, \cdots, t x_{n}\right)=t^{k} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \forall t>0$ ，称 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的。证明：可微函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的 ⇔ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=k f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上的 $\displaystyle n$ 次齐次函数：对 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$ ，且具有一阶连续偏导数，$\displaystyle f_{z}^{\prime}(x, y, z) \neq 0$ ．若方程 $\displaystyle f(x, y, z)=0$ 确定了可微的隐函数 $\displaystyle z=g(x, y)$ ，证明：$\displaystyle z=g(x, y)$ 必为一次齐次函数．
第29题未分类
29．在变力 $\displaystyle F=y z i+z x j+x y k$ 作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 第一象限的点 $\displaystyle M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时， $\displaystyle \boldsymbol{F}$ 所做的功 $\displaystyle W$ 最大，并求 $\displaystyle W$ 的最大值．
第33题求解题
33．求解下列各题．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
第37题求解题
37．求下列函数的方向导数．
（1）求函数 $\displaystyle f(x, y)=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ ，请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数．
（3）求 $\displaystyle z=\arctan \frac{y}{x}$ 在位于圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0$ 上一点 $\displaystyle P_{0}\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处沿着该圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角度 $\displaystyle \alpha:(0, \pi)$ ）．
（4）设 $\displaystyle z=x^{2}-x y+y^{2}$ ，求它在点 $\displaystyle (1,1)$ 处沿方向 $\displaystyle v=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的方向导数，并分别求出最大与最小的方向导数．
（5）数量场 $\displaystyle u=x^{2}-2 y z+y^{2}$ 在点 $\displaystyle M(-1,2,1)$ 沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值．
（6）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(x y z, x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=0$ 所确定，求 $\displaystyle \operatorname{grad} z$ ．
（1）求函数 $\displaystyle f(x, y)=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ ，请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数．
（3）求 $\displaystyle z=\arctan \frac{y}{x}$ 在位于圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0$ 上一点 $\displaystyle P_{0}\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处沿着该圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角度 $\displaystyle \alpha:(0, \pi)$ ）．
（4）设 $\displaystyle z=x^{2}-x y+y^{2}$ ，求它在点 $\displaystyle (1,1)$ 处沿方向 $\displaystyle v=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的方向导数，并分别求出最大与最小的方向导数．
（5）数量场 $\displaystyle u=x^{2}-2 y z+y^{2}$ 在点 $\displaystyle M(-1,2,1)$ 沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值．
（6）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(x y z, x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=0$ 所确定，求 $\displaystyle \operatorname{grad} z$ ．
第46题证明题
46．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有连续的偏导数，且在 $\displaystyle \partial D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上恒为零。求证：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi}{3} \max _{(x, y) \in D}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上具有非负的一阶连续偏导数，并且在 $\displaystyle D$ 的边界上处处取值为零，证明：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有连续的偏导数，且在 $\displaystyle \partial D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上恒为零。求证：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi}{3} \max _{(x, y) \in D}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上具有非负的一阶连续偏导数，并且在 $\displaystyle D$ 的边界上处处取值为零，证明：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ 。
第55题未分类
55．设 $\displaystyle u(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，$\displaystyle S$ 为有界闭区域 $\displaystyle \Omega$ 的光滑边界曲面，记
$$
\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}
$$
$$
\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}
$$
第56题证明题
56．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 具有二阶连续偏导数。记 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ，证明： $\displaystyle \oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{V}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^{2}\right] \mathrm{d} V+\iiint_{V} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿曲面 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$外法线方向的方向导数．
（2）若在 $\displaystyle \Omega$ 上，$\displaystyle \Delta u=0$ ，且函数 $\displaystyle u$ 在 $\displaystyle S$ 恒等于 0 ，则在 $\displaystyle \Omega$ 内 $\displaystyle u \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle D$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的闭区域，$\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上连续且有偏导数，$\displaystyle f$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=f,\left.f\right|_{\partial D}=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上等于 0 ．
（4）设 $\displaystyle D$ 是有界闭区域，$\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，有偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=u,\left.u\right|_{\partial D}=0$ ，则 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D$上等于 0．
（1）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 具有二阶连续偏导数。记 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ，证明： $\displaystyle \oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{V}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^{2}\right] \mathrm{d} V+\iiint_{V} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿曲面 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$外法线方向的方向导数．
（2）若在 $\displaystyle \Omega$ 上，$\displaystyle \Delta u=0$ ，且函数 $\displaystyle u$ 在 $\displaystyle S$ 恒等于 0 ，则在 $\displaystyle \Omega$ 内 $\displaystyle u \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle D$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的闭区域，$\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上连续且有偏导数，$\displaystyle f$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=f,\left.f\right|_{\partial D}=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上等于 0 ．
（4）设 $\displaystyle D$ 是有界闭区域，$\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，有偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=u,\left.u\right|_{\partial D}=0$ ，则 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D$上等于 0．
第57题未分类
57．记 $\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}, \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x, y, z)$ 和 $\displaystyle g(x, y, z)$ 在 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 上具有二阶连续的偏导数．证明： $\displaystyle \iiint_{V}(\nabla g \cdot \nabla f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(g \cdot \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle n$ 表示 $\displaystyle S$ 的外法线方向，$\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
（2）若 $\displaystyle \Delta f=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，试计算 $\displaystyle I=\iiint_{V} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．（华 中 师 大 2010）
（1）已知 $\displaystyle f(x, y, z)$ 和 $\displaystyle g(x, y, z)$ 在 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 上具有二阶连续的偏导数．证明： $\displaystyle \iiint_{V}(\nabla g \cdot \nabla f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(g \cdot \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle n$ 表示 $\displaystyle S$ 的外法线方向，$\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
（2）若 $\displaystyle \Delta f=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，试计算 $\displaystyle I=\iiint_{V} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．（华 中 师 大 2010）
第58题证明题
58．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑有界区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数，不恒为 0 ，满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\lambda u,(x, y, z) \in \Omega, u(x, y, z)=0,(x, y, z) \in \partial \Omega$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数．证明：
$$
\iiint_{\Omega}|\operatorname{grad} u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \iiint_{\Omega} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle u=u(t, x, y, z)$ 有二阶连续偏导数，为空间有界闭集，它有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega, \partial \Omega$ 外的单位外法向量为 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ ，证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \cdot \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega}|\nabla \vec{u}|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ， $\displaystyle \nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑有界区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数，不恒为 0 ，满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\lambda u,(x, y, z) \in \Omega, u(x, y, z)=0,(x, y, z) \in \partial \Omega$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数．证明：
$$
\iiint_{\Omega}|\operatorname{grad} u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \iiint_{\Omega} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle u=u(t, x, y, z)$ 有二阶连续偏导数，为空间有界闭集，它有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega, \partial \Omega$ 外的单位外法向量为 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ ，证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \cdot \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega}|\nabla \vec{u}|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ， $\displaystyle \nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$ ．
第59题证明题
59．设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界．$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数．证明：
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} \Omega=\oiint_{S} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}(\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v) \mathrm{d} \Omega$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\displaystyle \mathrm{d} S$为边界上的面积元，$\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} \Omega=\oiint_{S} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}(\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v) \mathrm{d} \Omega$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\displaystyle \mathrm{d} S$为边界上的面积元，$\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 。
第60题证明题
60．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界，$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数。证明：
$\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\displaystyle \mathrm{d} S$ 为边界上的面积元．
（2）$\displaystyle P \in \mathbf{R}^{3}$ 的坐标为 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ ，函数 $\displaystyle r(x, y, z)=(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}+(z-\zeta)^{2}$ ，证 明：$\displaystyle \Delta \frac{1}{r}=0$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3} \backslash\{P\}$ 上成立，其中 $\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ ．
（3）设 $\displaystyle B(P, \delta)$ 是以 $\displaystyle P$ 为中心、 $\displaystyle \delta$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B(P, \delta)$ 为其边界．若在 $\displaystyle B(P, \delta)$ 上 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \Delta u=0$ ，则 $\displaystyle u(P)=\frac{1}{4 \pi \delta^{2}} \iint_{\partial B(P, \delta)} u \mathrm{~d} S$.
（1）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界，$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数。证明：
$\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\displaystyle \mathrm{d} S$ 为边界上的面积元．
（2）$\displaystyle P \in \mathbf{R}^{3}$ 的坐标为 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ ，函数 $\displaystyle r(x, y, z)=(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}+(z-\zeta)^{2}$ ，证 明：$\displaystyle \Delta \frac{1}{r}=0$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3} \backslash\{P\}$ 上成立，其中 $\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ ．
（3）设 $\displaystyle B(P, \delta)$ 是以 $\displaystyle P$ 为中心、 $\displaystyle \delta$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B(P, \delta)$ 为其边界．若在 $\displaystyle B(P, \delta)$ 上 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \Delta u=0$ ，则 $\displaystyle u(P)=\frac{1}{4 \pi \delta^{2}} \iint_{\partial B(P, \delta)} u \mathrm{~d} S$.
第61题未分类
61．设 $\displaystyle V$ 是空间三维单连通的有界区域，其边界 $\displaystyle \sum$ 是简单光滑曲面，点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in V$ ， $\displaystyle u=u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{V}=V+\sum$ 上具有连续偏导数，在 $\displaystyle V$ 内具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$.
（1）证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 \pi t^{2}} \iint_{\Sigma_{t}} u \mathrm{~d} S=u_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，其中 $\displaystyle \Sigma_{t}$ 是含在 $\displaystyle V$ 内的球面 $\displaystyle \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} +\left(z-z_{0}\right)^{2}=t^{2}, t>0$ ．
（2）设 $\displaystyle n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \Sigma_{1}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|r|$ ，证明 $\displaystyle \iint_{\sum_{1}} \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ．
（3）设 $\displaystyle n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|r|$ ，计算积分 $\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (r, n)}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ．
（1）证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 \pi t^{2}} \iint_{\Sigma_{t}} u \mathrm{~d} S=u_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，其中 $\displaystyle \Sigma_{t}$ 是含在 $\displaystyle V$ 内的球面 $\displaystyle \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} +\left(z-z_{0}\right)^{2}=t^{2}, t>0$ ．
（2）设 $\displaystyle n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \Sigma_{1}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|r|$ ，证明 $\displaystyle \iint_{\sum_{1}} \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ．
（3）设 $\displaystyle n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|r|$ ，计算积分 $\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (r, n)}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ．