正项级数敛散性的一般判别原则

2．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ ．（广西师大2002，湘潭大学2005（ $\displaystyle x=\pi$ ））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．（浙江工商 2014）
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}},(p>0)$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \sin \frac{1}{n^{\beta}},(\beta>0)$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ ．

4．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\ln 4+\ln 27+\cdots+\ln n^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n!}}{(2+\sqrt{1})(2+\sqrt{2}) \cdots(2+\sqrt{n})}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(2 n)!}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{n}\right)}, x \geqslant 0$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\right]$ ．

5．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}(p \in \mathbf{R})$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}(p>0)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{\alpha}}(\alpha>0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}$ ，其中 $\displaystyle p>0, q>0$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ ．（大连理工 2002，大连理工 1998，复旦大学 $\displaystyle \left.2005(p=1)\right)$

7．讨论下列级数的玫散性，
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ．（北京交大 2000，上海师大 2001，中山大学 2012（ $\displaystyle a=-\mathrm{e}$ ），北京科技 2007 $\displaystyle (a=\mathrm{e})$ ；$\displaystyle a=2$ ；湖南农大 2010，哈尔滨师大 2004；$\displaystyle a=1$ ：宁波大学 2004；$\displaystyle a=3$ ：桂林电子科技 2008，曲阜师大 2008）

23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．

24．证明下列结论．
（1）设正项级数．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$ 是收敛的．
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}$ 是收敛的．

26．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant n^{\sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leqslant 1$ ；（2）幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 收玫．

27．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且满足 $\displaystyle f^{n}(0)>0$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ ．令 $\displaystyle a_{n}=f\left(\frac{1}{n}\right)$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域．

分析： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ 是一重要隐含条件： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0 \Leftrightarrow f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ．

31．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{A_{n}}=0$ ，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径．

39．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{1-\frac{1}{n}}$ 收玫．

46．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，且成立不等式 $\displaystyle a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 也收敛。若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 一定发散吗？
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的玫散性一定相同吗？举例说明．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为正实数列，且对一切自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ ，证明：如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散．
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle u_{n}>0, \frac{u_{n-1}}{u_{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}, n=1,2, \cdots$
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n^{2}},(n \geqslant 1), M$ 为常数，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛；（2）若把条件改为 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 时，结论是否成立？
（6）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是正项级数，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-a_{n+1}\right)>0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．

48．证明或判断下列级数的玫散性．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 都是正项级数，满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ 。求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0,(n=1,2, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ 。求证：交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a>0$ ，判断使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫的 $\displaystyle a$ 的范围．（首都师大 2012，南航 2010（ $\displaystyle a=3$ ））
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散．

49．证明或判断下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\displaystyle \alpha$ 及正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．

53．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散．