泰勒级数
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第15题证明题
15．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
第29题证明题
29．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ ．
（1）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \frac{\mathrm{~d}^{k}}{\mathrm{~d} x^{k}}\left(\cos n^{2} x\right), k \geqslant 1$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（3）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数的收玫半径为 0．
（1）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \frac{\mathrm{~d}^{k}}{\mathrm{~d} x^{k}}\left(\cos n^{2} x\right), k \geqslant 1$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（3）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数的收玫半径为 0．
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．