海涅归结原则（Heine定理）
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第7题未分类
7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界可微，试问下列命题中哪个必定成立（要说明理由），哪个不成立（举反例）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ 蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ 蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ 。
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ 。
第12题讨论/判定题
12．讨论下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的可导性．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数，} \\ x, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, x \text { 为无理数，} \\ x^{2}, x \text { 为有理数．}\end{array}(\right.$ 华南理工 2010, 燕山大学 2010）
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数，} \\ x, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, x \text { 为无理数，} \\ x^{2}, x \text { 为有理数．}\end{array}(\right.$ 华南理工 2010, 燕山大学 2010）
第13题证明题
13．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \text { 为有理数，} \\ x^{2}+x, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$（1）证明：若 $\displaystyle x \neq 0$, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x$ 处不连续；（2）计算 $\displaystyle f^{\prime}(0)$.
第14题讨论/判定题
14．设 $\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \in \mathbf{R}-\mathbf{Q},\end{array}\right.$（ $\displaystyle \mathbf{Q}$ 为有理数集）．讨论下列函数的可微性．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{\alpha} D(x),(\alpha>1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2} D(x)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} D(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{\alpha} D(x),(\alpha>1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2} D(x)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} D(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
第25题证明题
25．证明：（1）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
（2）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．