用极坐标计算二重积分
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第5题计算题
5．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一象限的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=|x|, x^{2}+y^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 围成且 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x$ 轴上方。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, a<b$ 其中 $\displaystyle D: a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+2 a y=0$ 与 $\displaystyle y \geqslant-x$ 围成 $\displaystyle (a>0)$ ．
分析：由于积分区域 $\displaystyle D$ 关于 $\displaystyle x$ 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分．又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可。
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一象限的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=|x|, x^{2}+y^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 围成且 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x$ 轴上方。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, a<b$ 其中 $\displaystyle D: a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+2 a y=0$ 与 $\displaystyle y \geqslant-x$ 围成 $\displaystyle (a>0)$ ．
分析：由于积分区域 $\displaystyle D$ 关于 $\displaystyle x$ 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分．又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可。
第6题计算题
6．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=\pi$ ：华南理 $\displaystyle I$ 2003）
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(3 x y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：中科大 2013）
分析：由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=\pi$ ：华南理 $\displaystyle I$ 2003）
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(3 x y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：中科大 2013）
分析：由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．
第7题计算题
7．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{e}^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=1:$ 华中师大 2007）
（2） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：南开大学 2004）
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=1$ ：中山大学 2008）
（4） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=2$ ：南昌大学 2003，东华大学 2010）
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{e}^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=1:$ 华中师大 2007）
（2） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：南开大学 2004）
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=1$ ：中山大学 2008）
（4） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=2$ ：南昌大学 2003，东华大学 2010）
第7题计算题
7．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} y-y^{2} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (a, a)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的圆周．
（2） $\displaystyle \int_{L} y \cos x \mathrm{~d} x+\left(x y^{2}+\sin x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 顺时针一周．
（1） $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} y-y^{2} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (a, a)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的圆周．
（2） $\displaystyle \int_{L} y \cos x \mathrm{~d} x+\left(x y^{2}+\sin x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 顺时针一周．
第8题计算题
8．积分区域 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（2） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（2） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第9题计算题
9．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant 3 x\right\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由圆 $\displaystyle x^{2}+(y+1)^{2}=1$ 与直线 $\displaystyle y=-x$ 围成的小部分区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(y>0),(x-2 a)^{2}+y^{2}=4 a^{2}(y>0)$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant 3 x\right\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由圆 $\displaystyle x^{2}+(y+1)^{2}=1$ 与直线 $\displaystyle y=-x$ 围成的小部分区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(y>0),(x-2 a)^{2}+y^{2}=4 a^{2}(y>0)$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
第10题计算题
10．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a$ 为边的平行四边形．．
（3） $\displaystyle \iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x, y=-1, x=1$ 所围成的平面区域．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a$ 为边的平行四边形．．
（3） $\displaystyle \iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x, y=-1, x=1$ 所围成的平面区域．
第10题计算题
10．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(2 x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},(z \geqslant 0)$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ 其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle z=0$ 所围下半球面的边界曲面。
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \mathrm{d} S, \beta>-1$ ，用 $\displaystyle \Gamma(s)$ 函数表示之，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(2 x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},(z \geqslant 0)$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ 其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle z=0$ 所围下半球面的边界曲面。
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \mathrm{d} S, \beta>-1$ ，用 $\displaystyle \Gamma(s)$ 函数表示之，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．
第12题计算题
12．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $\displaystyle x O y$ 面上方的部分。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上方的抛物面 $\displaystyle z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $\displaystyle x O y$ 面上方的部分。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上方的抛物面 $\displaystyle z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
第14题计算题
14．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 所截取的部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 截下的一块曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=y$ 截下的一块曲面．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z^{2}=k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 含在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x$ 内部的部分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 所截取的部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 截下的一块曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=y$ 截下的一块曲面．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z^{2}=k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 含在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x$ 内部的部分．
第15题计算题
15．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left[a_{1} a_{2} x^{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) x y+b_{1} b_{2} x^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．
第16题求解题
16．求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分．
第17题求解题
17．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}(z \geqslant 0)$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R x$ 内部的部分．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。重庆大学 2010）
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}(z \geqslant 0)$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R x$ 内部的部分．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。重庆大学 2010）
第19题计算题
19．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
第19题求解题
19．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{z}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 截得的球冠部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{(1+x+y)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为四面体 $\displaystyle x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 的边界曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{1-z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{z}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 截得的球冠部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{(1+x+y)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为四面体 $\displaystyle x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 的边界曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{1-z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 。
第20题计算题
20．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
第20题计算题
20．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R \neq h, h>0)$ ．
（2）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心，$\displaystyle a(a>0)$ 为半径的上半球面．
（3）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心， 2 为半径的上半球面被 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截下的部分．
（1） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R \neq h, h>0)$ ．
（2）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心，$\displaystyle a(a>0)$ 为半径的上半球面．
（3）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心， 2 为半径的上半球面被 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截下的部分．
第21题证明题
21．证明：对连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，有 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ．
第25题计算题
25．设 $\displaystyle [a]$ 表示 $\displaystyle a$ 的最大整数部分，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．
第26题证明题
26．证明下列命题，并计算二重积分．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
第27题计算题
27．计算下列各题．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．
第27题求解题
27．求 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{u} \mathrm{~d} z \iint_{D} \frac{\sin \left(z \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $\displaystyle D: 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4^{2}$ ．
第28题未分类
28．设 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有连续导函数，$\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right\}, F(t)=\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}+t^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $\displaystyle t \in(-\infty,+\infty)$ ．（1）证明：$\displaystyle F(t)$ 可导，并求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增，则 $\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增．
第29题求解题
29．设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，求解下列各题．
（1）若 $\displaystyle f(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ 。南京财大 2007，西安电子科大 2004）
（2）若 $\displaystyle f(1)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(1)$ ．
（3）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{4}}$ ．
（4）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．记 $\displaystyle D_{t}$ 为圆心在原点，半径为 $\displaystyle t$ 的圆．若 $\displaystyle t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle \iint_{D_{t}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma \sim a t^{k}$ ，试求常数 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle k$ 的值．
（1）若 $\displaystyle f(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ 。南京财大 2007，西安电子科大 2004）
（2）若 $\displaystyle f(1)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(1)$ ．
（3）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{4}}$ ．
（4）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．记 $\displaystyle D_{t}$ 为圆心在原点，半径为 $\displaystyle t$ 的圆．若 $\displaystyle t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle \iint_{D_{t}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma \sim a t^{k}$ ，试求常数 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle k$ 的值．
第30题计算题
30．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
第31题计算题
31．求下列极限．
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面上有界，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<n^{2}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f^{\prime}(u)=A>0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x, y \geqslant 0\right\}$ ， $\displaystyle R>0$ ．（1）证明： $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f(u)=+\infty$ ；（2）求 $\displaystyle I_{R}=\iint_{D} f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；（3）求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{I_{R}}{R^{2}}$ ．（西北大学 2013，南开大
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D}\left|f^{n}(x, y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面上有界，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<n^{2}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f^{\prime}(u)=A>0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x, y \geqslant 0\right\}$ ， $\displaystyle R>0$ ．（1）证明： $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f(u)=+\infty$ ；（2）求 $\displaystyle I_{R}=\iint_{D} f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；（3）求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{I_{R}}{R^{2}}$ ．（西北大学 2013，南开大
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D}\left|f^{n}(x, y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第37题计算题
37．计算下列累次积分。
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{4-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{4-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
第40题求解题
40．设圆盘 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y+b)^{2} \leqslant R^{2}$ 上各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量。华东师大2009）
第46题证明题
46．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有连续的偏导数，且在 $\displaystyle \partial D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上恒为零。求证：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi}{3} \max _{(x, y) \in D}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上具有非负的一阶连续偏导数，并且在 $\displaystyle D$ 的边界上处处取值为零，证明：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有连续的偏导数，且在 $\displaystyle \partial D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上恒为零。求证：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi}{3} \max _{(x, y) \in D}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上具有非负的一阶连续偏导数，并且在 $\displaystyle D$ 的边界上处处取值为零，证明：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ 。
第47题证明题
47．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ，证明： $\displaystyle 1 \leqslant \iint_{D}\left(\sin \left(x^{2}\right)+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \sqrt{2}$ 。电子科技 2010）
（2）证明不等式： $\displaystyle 2 \pi(\sqrt{17}-4) \leqslant \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{16+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y}} \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle C:|x-1| \leqslant 2,|y-1| \leqslant 2$ 上具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=0$ ，且在点 $\displaystyle (1,1)$ 达到极值。又设 $\displaystyle \left|\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{l} \partial y^{2-1}}\right| \leqslant M,(x, y) \in G$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant l \leqslant 2$ 。取区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，试证 $\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \frac{7}{12} M$ ．
（1）设 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ，证明： $\displaystyle 1 \leqslant \iint_{D}\left(\sin \left(x^{2}\right)+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \sqrt{2}$ 。电子科技 2010）
（2）证明不等式： $\displaystyle 2 \pi(\sqrt{17}-4) \leqslant \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{16+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y}} \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle C:|x-1| \leqslant 2,|y-1| \leqslant 2$ 上具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=0$ ，且在点 $\displaystyle (1,1)$ 达到极值。又设 $\displaystyle \left|\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{l} \partial y^{2-1}}\right| \leqslant M,(x, y) \in G$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant l \leqslant 2$ 。取区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，试证 $\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \frac{7}{12} M$ ．