直角坐标系下二重积分的计算（X型、Y型区域）
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第1题计算题
1．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=2, y=x$ 和曲线 $\displaystyle x y=1$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant x\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, y=1$ 及 $\displaystyle x=0$ 围成。．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且为奇函数，区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=4-x^{2}$ 与 $\displaystyle y=-3 x, x=1$ 所围成，求 $\displaystyle I=\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=x^{3}$ 与 $\displaystyle x=-1, y=1$ 所围成，$\displaystyle f(x)$ 为实值连续函数．
（8） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a x$ 。挻安大学 2000）
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=2, y=x$ 和曲线 $\displaystyle x y=1$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant x\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, y=1$ 及 $\displaystyle x=0$ 围成。．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且为奇函数，区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=4-x^{2}$ 与 $\displaystyle y=-3 x, x=1$ 所围成，求 $\displaystyle I=\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=x^{3}$ 与 $\displaystyle x=-1, y=1$ 所围成，$\displaystyle f(x)$ 为实值连续函数．
（8） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a x$ 。挻安大学 2000）
第2题计算题
2．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=1$ 及 $\displaystyle y=x$ 围成。曲阜师大 2007，矿业大学 2004，深圳大学 2006，东南大学 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, x=0$ 及 $\displaystyle y=1$ 围成。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由平面上曲线 $\displaystyle y=x$ 与 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。武汉大学1992）分析：由于被积函数 $\displaystyle \mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先 $\displaystyle x$ 后 $\displaystyle y$ 的二次积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=1$ 及 $\displaystyle y=x$ 围成。曲阜师大 2007，矿业大学 2004，深圳大学 2006，东南大学 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, x=0$ 及 $\displaystyle y=1$ 围成。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由平面上曲线 $\displaystyle y=x$ 与 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。武汉大学1992）分析：由于被积函数 $\displaystyle \mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先 $\displaystyle x$ 后 $\displaystyle y$ 的二次积分．
第3题计算题
3．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=x$ 及 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$ 所围成．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=0, y=x$ 及 $\displaystyle x=\pi$ 所围成。．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=x, y=1, x=0$ 围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 及抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 围成的区域。
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 与抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 所围成的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x^{2}, x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成。
分析：由于被积函数 $\displaystyle \frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $\displaystyle x$ 后对 $\displaystyle y$ 的二次积分．同理被积函数 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 的原函数也不能用初等函数表示，应化为先对 $\displaystyle y$ 后对 $\displaystyle x$ 的二次积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=x$ 及 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$ 所围成．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=0, y=x$ 及 $\displaystyle x=\pi$ 所围成。．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=x, y=1, x=0$ 围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 及抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 围成的区域。
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 与抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 所围成的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x^{2}, x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成。
分析：由于被积函数 $\displaystyle \frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $\displaystyle x$ 后对 $\displaystyle y$ 的二次积分．同理被积函数 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 的原函数也不能用初等函数表示，应化为先对 $\displaystyle y$ 后对 $\displaystyle x$ 的二次积分．
第4题计算题
4．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{[0, \pi] \times[0,1]} y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1002&width=1003&top_left_y=7197&top_left_x=4544}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．14}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1002&width=1003&top_left_y=7197&top_left_x=4544}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．14}
\end{figure}
第8题求解题
8．求下列第二型曲面积分．
（1）设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 外侧，求
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。苏州科技2008／2009，东北师大 2006，上海大学 2005，青岛大学 2010，河北大学 2011，北京科技 2011，武汉大学 2000 ，中南大学 2000 ，地质大学 2003 ，南京大学 2000 ，大连理工 2002，首都师大 2010，西北大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(x+y+z)$ 的外侧。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z(a>0)$ 的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ 的外侧．
（1）设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 外侧，求
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。苏州科技2008／2009，东北师大 2006，上海大学 2005，青岛大学 2010，河北大学 2011，北京科技 2011，武汉大学 2000 ，中南大学 2000 ，地质大学 2003 ，南京大学 2000 ，大连理工 2002，首都师大 2010，西北大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(x+y+z)$ 的外侧。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z(a>0)$ 的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ 的外侧．
第12题计算题
12．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{\Gamma}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为依正方向以 $\displaystyle A(1,1), B(3,2), C(2,5)$ 为顶点的三角形三边围成的闭曲线。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(0,0)$ 沿曲线 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 到点 $\displaystyle B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的路径．
（1）$\displaystyle \oint_{\Gamma}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为依正方向以 $\displaystyle A(1,1), B(3,2), C(2,5)$ 为顶点的三角形三边围成的闭曲线。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(0,0)$ 沿曲线 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 到点 $\displaystyle B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的路径．
第16题计算题
16．设 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=2, x=y$ 及 $\displaystyle 4 x=y, x>0, y>0$ 围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第17题计算题
17．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
第17题计算题
17．求立体的体积．
（1）计算由抛物面 $\displaystyle z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $\displaystyle z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $\displaystyle z=0$ ，圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $\displaystyle z=0$ 为底，以柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $\displaystyle z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $\displaystyle x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $\displaystyle x>0, y>0$ 所围成，试求 $\displaystyle V$ 的体积．
（1）计算由抛物面 $\displaystyle z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $\displaystyle z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $\displaystyle z=0$ ，圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $\displaystyle z=0$ 为底，以柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $\displaystyle z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $\displaystyle x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $\displaystyle x>0, y>0$ 所围成，试求 $\displaystyle V$ 的体积．
第18题计算题
18．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
第19题计算题
19．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
第19题计算题
19．求立体的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
第20题计算题
20．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
第20题证明题
20．证明抛物面 $\displaystyle z=1+x^{2}+y^{2}$ 上任意点处的切平面与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体体积为定值．
第21题计算题
21．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
第22题计算题
22．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
第23题计算题
23．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第24题计算题
24．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．
第25题计算题
25．设 $\displaystyle [a]$ 表示 $\displaystyle a$ 的最大整数部分，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．
第27题计算题
27．计算下列各题．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．
第34题计算题
34．计算下列累次积分。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{~d} y \int_{y-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos \frac{y}{x} \cdot \sin x^{2}}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{~d} y \int_{y-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos \frac{y}{x} \cdot \sin x^{2}}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
第35题计算题
35．计算下列累次积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y$ ．
（7） $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+x} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y$ ．
（7） $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+x} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
第36题未分类
36．交换下列积分的积分顺序．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。西安交大 1998）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{2 y}}^{\sqrt{8-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 。西安交大 2010）
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} y \int_{0}^{3-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（桂林电子科大 2009）
（10） $\displaystyle \int_{-2}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2+x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2-x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。西安交大 1998）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{2 y}}^{\sqrt{8-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 。西安交大 2010）
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} y \int_{0}^{3-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（桂林电子科大 2009）
（10） $\displaystyle \int_{-2}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2+x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2-x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
第41题证明题
41．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} f(1-y) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D$ 为三角形区域 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 为连续偶函数，试证明 $\displaystyle \iint_{D} f(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D$ 为正方形： $\displaystyle |x| \leqslant a,|y| \leqslant a$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续偶函数，利用对 $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y$ 首先设 $\displaystyle u=x-y$ 再交换累次积分顺序的方法证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x, y)=f(y, x), \forall x, y \in[0,1]$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(1-x, 1-y) \mathrm{d} y \text { 。 }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} f(1-y) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D$ 为三角形区域 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 为连续偶函数，试证明 $\displaystyle \iint_{D} f(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D$ 为正方形： $\displaystyle |x| \leqslant a,|y| \leqslant a$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续偶函数，利用对 $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y$ 首先设 $\displaystyle u=x-y$ 再交换累次积分顺序的方法证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x, y)=f(y, x), \forall x, y \in[0,1]$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(1-x, 1-y) \mathrm{d} y \text { 。 }
$$
第43题证明题
43．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle 2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．（上海交大；$\displaystyle [a, b]=[0, a]$ ：温州大学 2007，河北工大 2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y . \text { }
$$
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle 2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．（上海交大；$\displaystyle [a, b]=[0, a]$ ：温州大学 2007，河北工大 2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y . \text { }
$$
第44题证明题
44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，求证：$\displaystyle \forall a>0, \int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x$ ．（重庆师大
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{a}^{y}(y-x)^{n} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} \int_{a}^{b}(b-x)^{n+1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{x}^{y} f(x) f(y) f(z) \mathrm{d} z=\frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{3}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，求证：$\displaystyle \forall a>0, \int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x$ ．（重庆师大
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{a}^{y}(y-x)^{n} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} \int_{a}^{b}(b-x)^{n+1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{x}^{y} f(x) f(y) f(z) \mathrm{d} z=\frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{3}$ ．
第48题计算题
48．设 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（1）计算 $\displaystyle A=\iint_{D}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} \sigma$ ；（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，并满足 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ， $\displaystyle \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$ 。证明：$\displaystyle \exists\left(x^{*}, y^{*}\right) \in D$ 使 $\displaystyle \left|f\left(x^{*}, y^{*}\right)\right| \geqslant \frac{1}{A}$ ．
（1）计算 $\displaystyle A=\iint_{D}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} \sigma$ ；（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，并满足 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ， $\displaystyle \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$ 。证明：$\displaystyle \exists\left(x^{*}, y^{*}\right) \in D$ 使 $\displaystyle \left|f\left(x^{*}, y^{*}\right)\right| \geqslant \frac{1}{A}$ ．