确界原理
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第33题证明题
33．用确界存在定理证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle I$ 上的连续函数，则 $\displaystyle f(I)$ 是一个区间．
第34题证明题
34．证明下列命题．
（1）叙述闭区间套定理，并用单调有界性定理证明闭区间套定理．
（2）叙述并证明区间套定理．
（3）用区间套定理证明确界原理、有限覆盖定理．
（4）用有限覆盖定理证明聚点定理、致密性定理、闭区间套定理．
（1）叙述闭区间套定理，并用单调有界性定理证明闭区间套定理．
（2）叙述并证明区间套定理．
（3）用区间套定理证明确界原理、有限覆盖定理．
（4）用有限覆盖定理证明聚点定理、致密性定理、闭区间套定理．
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。
试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。
试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．