确界（上确界、下确界）的定义
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第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 卜单调增加，且 $\displaystyle f(0) \geqslant 0, f(1) \leqslant 1$ ．证明：在 $\displaystyle [0,1]$ 上必存在 $\displaystyle x_{0}$ ，使
$\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3}$ ．
$\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3}$ ．
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$\displaystyle a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。
（1）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$\displaystyle a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．
第21题证明题
21．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。
第42题证明题
42．设 $\displaystyle S$ 为有界数集，证明：若 $\displaystyle a=\sup S$ 不属于 $\displaystyle S$ ，则存在严格递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $\displaystyle a=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。