积分中值定理
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第1题证明题
1．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．
第1题证明题
1．证明．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $\displaystyle p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $\displaystyle p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．
第2题计算题
2．求下列极限．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x},(c>0)$ 。．
（2）证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{1}{a}, a \geqslant 1$ ．
（3）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin y^{2} \mathrm{~d} y\right|<\frac{1}{x}$ ．（四川师大 2012，湖南师大 2012（ $\displaystyle \mathrm{c}=2012$ ））
（4）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ．证明：$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{x} f(x)\right| \leqslant 2$ ．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$（ $\displaystyle n$ 为正整数）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的最大值不超过 $\displaystyle \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x},(c>0)$ 。．
（2）证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{1}{a}, a \geqslant 1$ ．
（3）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin y^{2} \mathrm{~d} y\right|<\frac{1}{x}$ ．（四川师大 2012，湖南师大 2012（ $\displaystyle \mathrm{c}=2012$ ））
（4）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ．证明：$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{x} f(x)\right| \leqslant 2$ ．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$（ $\displaystyle n$ 为正整数）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的最大值不超过 $\displaystyle \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续周期函数，周期 $\displaystyle T>0, \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=C$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=C$ 。
第9题证明题
9．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
第9题未分类
9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，则存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
第10题证明题
10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足条件 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ；（2）存在数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(y_{n}\right)=0$ 。
第11题证明题
11．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明．
（1） $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。南京师大 2006 ，四川大学 2000 ，扬州大学 2009，西南交大 2007，湖南大学 2005，东南大学 2007，华东师大 2002，北京师大 1995）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{1}{1+x^{2}} f\left(\frac{x}{\lambda}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \int_{0}^{1} \frac{f(t) \arctan (x t)}{1+t^{2} x^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{x \cos t}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。南京师大 2006 ，四川大学 2000 ，扬州大学 2009，西南交大 2007，湖南大学 2005，东南大学 2007，华东师大 2002，北京师大 1995）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{1}{1+x^{2}} f\left(\frac{x}{\lambda}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \int_{0}^{1} \frac{f(t) \arctan (x t)}{1+t^{2} x^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{x \cos t}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}$ ．
第11题证明题
11．已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x<+\infty$ ．证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ 满足：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 严格单调递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ 。北京大学 2009，云南大学 2011，华中师大 2010）
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．
第14题证明题
14．（傅茹兰尼公式）证明：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}$ ．（北京师大 2005，北京交大 2013／2006，电子科技 2010（ $\displaystyle k=0$ ），广西民大 2010 ，人民大学 2000）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=d$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(d-c) \ln \frac{b}{a} .
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}$ ．（北京师大 2005，北京交大 2013／2006，电子科技 2010（ $\displaystyle k=0$ ），广西民大 2010 ，人民大学 2000）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=d$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(d-c) \ln \frac{b}{a} .
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．
第15题求解题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，对任意 $\displaystyle A>0, \int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 均有意义，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f(3 x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证
$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证
$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
第16题未分类
16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ，则对任意 $\displaystyle 0<a<b$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=A \ln \frac{b}{a}$ ．
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．
第17题求解题
17．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), b>a>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
第18题证明题
18．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续（或可积），试证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上有界可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：存在常数 $\displaystyle \alpha \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则在积分区间 $\displaystyle [a, b]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$ 。曲阜师大2007，广西民大2007，计量学院2009，首都师大2009）
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。广西大学 2005，青岛大学 2009，河南大学 2001，昆明理工 2007，西南交大 2007，燕山大学 2009）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，$\displaystyle M, m$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的上、下确界，则必存在某实数 $\displaystyle \mu(m \leqslant \mu \leqslant M)$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明存在 $\displaystyle \xi \in[0, \pi]$ ，使得 $\displaystyle 2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加，连续可微，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \text { 证明对任意自然数 } n \geqslant 2, \text { 存在唯一 } x_{n} \in(0,1) \text { 使得 } \\ 1, x=0,\end{array}\right. \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。进一步 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在。哈工大 2006）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续（或可积），试证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上有界可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：存在常数 $\displaystyle \alpha \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则在积分区间 $\displaystyle [a, b]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$ 。曲阜师大2007，广西民大2007，计量学院2009，首都师大2009）
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。广西大学 2005，青岛大学 2009，河南大学 2001，昆明理工 2007，西南交大 2007，燕山大学 2009）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，$\displaystyle M, m$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的上、下确界，则必存在某实数 $\displaystyle \mu(m \leqslant \mu \leqslant M)$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明存在 $\displaystyle \xi \in[0, \pi]$ ，使得 $\displaystyle 2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加，连续可微，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \text { 证明对任意自然数 } n \geqslant 2, \text { 存在唯一 } x_{n} \in(0,1) \text { 使得 } \\ 1, x=0,\end{array}\right. \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。进一步 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在。哈工大 2006）
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
第23题证明题
23．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $\displaystyle n$ ，令 $\displaystyle x_{k}=a+k \frac{b-a}{n}, k=0,1, \cdots, n$ ， $\displaystyle A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$ ．
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $\displaystyle n$ ，令 $\displaystyle x_{k}=a+k \frac{b-a}{n}, k=0,1, \cdots, n$ ， $\displaystyle A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$ ．
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，证明：
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
第26题证明题
26．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上连续可微．证明：$\displaystyle |f(0)| \leqslant \frac{1}{a} \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．（四川师大 2013 ，上海大学 2003 ，华中师大 2000 ，沈阳工大 2007 ，山东师大 2008 ，郑州大学；东南大学 2001（ $\displaystyle a=$ 1），东北大学 2007／2003）
说明：这是 25 题的特殊情况。
说明：这是 25 题的特殊情况。
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且在 $\displaystyle x=0$ 处可导，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$
第28题证明题
28．证明下列命题并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
第30题计算题
30．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
第31题证明题
31．证明或判别下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,3]$ 上可微，满足 $\displaystyle f(1)=9 f(3)=\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。求证：存在不同的两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(1,3)$ 满足 $\displaystyle 2 f(x)+x f^{\prime}(x)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,3]$ 上可微，满足 $\displaystyle f(1)=9 f(3)=\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。求证：存在不同的两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(1,3)$ 满足 $\displaystyle 2 f(x)+x f^{\prime}(x)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
第33题证明题
33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{1-x^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(1)=4 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{1-x^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（1）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(1)=\mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2} f(\xi)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a>0)$ 内可导且 $\displaystyle f(\pi)=\pi \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \mathrm{e}^{\pi-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=n \int_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{x-a} f(x) \mathrm{d} x,\left(\frac{1}{n}<a\right)$ ，证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x-1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(0)=3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=9 \int_{0}^{\frac{1}{9}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{1-x^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(1)=4 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{1-x^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（1）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(1)=\mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2} f(\xi)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a>0)$ 内可导且 $\displaystyle f(\pi)=\pi \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \mathrm{e}^{\pi-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=n \int_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{x-a} f(x) \mathrm{d} x,\left(\frac{1}{n}<a\right)$ ，证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x-1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(0)=3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=9 \int_{0}^{\frac{1}{9}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$ ．
第34题证明题
34．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可导， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 或 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2}{\xi} f(\xi)$ 。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二次可微，并且 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ ，以及 $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(y) \mathrm{d} y=\frac{3}{4} f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可导， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 或 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2}{\xi} f(\xi)$ 。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二次可微，并且 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ ，以及 $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(y) \mathrm{d} y=\frac{3}{4} f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
第36题证明题
36．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积，$\displaystyle f(b)-f(a)=1$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{b-a}$ ．（西北工大 2007，山东科技 2005（［a，b］$\displaystyle =[0,1])$ ）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)-f(0)=1$ ．求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 1$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1, \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0$ 。求证：$\displaystyle \forall a, b \in(0,1),\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(b)-f(a)=b-a$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>b-a$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积，$\displaystyle f(b)-f(a)=1$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{b-a}$ ．（西北工大 2007，山东科技 2005（［a，b］$\displaystyle =[0,1])$ ）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)-f(0)=1$ ．求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 1$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1, \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0$ 。求证：$\displaystyle \forall a, b \in(0,1),\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(b)-f(a)=b-a$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>b-a$ ．
第38题证明题
38．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：
$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：
$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．
第40题证明题
40．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$