积分判别法
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第5题讨论/判定题
5．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}(p \in \mathbf{R})$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}(p>0)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{\alpha}}(\alpha>0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}$ ，其中 $\displaystyle p>0, q>0$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ ．（大连理工 2002，大连理工 1998，复旦大学 $\displaystyle \left.2005(p=1)\right)$
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}(p \in \mathbf{R})$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}(p>0)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{\alpha}}(\alpha>0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}$ ，其中 $\displaystyle p>0, q>0$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ ．（大连理工 2002，大连理工 1998，复旦大学 $\displaystyle \left.2005(p=1)\right)$
第19题证明题
19．证明下列结论或求极限．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．
第20题求解题
20．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle r_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} a_{k}$ ，求证下列结论：（1）$\displaystyle \left\{r_{n}\right\}$ 单调减少并趋于 0 ； （2）$\displaystyle \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}} \leqslant 2\left(\sqrt{r_{n}}-\sqrt{r_{n+1}}\right)$ ；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}}$ 收敛；（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{r_{n}}$ 发散．