立体体积的计算
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第16题求解题
16．求立体的体积．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
第17题计算题
17．求立体的体积．
（1）计算由抛物面 $\displaystyle z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $\displaystyle z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $\displaystyle z=0$ ，圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $\displaystyle z=0$ 为底，以柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $\displaystyle z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $\displaystyle x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $\displaystyle x>0, y>0$ 所围成，试求 $\displaystyle V$ 的体积．
（1）计算由抛物面 $\displaystyle z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $\displaystyle z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $\displaystyle z=0$ ，圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $\displaystyle z=0$ 为底，以柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $\displaystyle z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $\displaystyle x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $\displaystyle x>0, y>0$ 所围成，试求 $\displaystyle V$ 的体积．
第18题求解题
18．求立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
第20题证明题
20．证明抛物面 $\displaystyle z=1+x^{2}+y^{2}$ 上任意点处的切平面与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体体积为定值．