第一型曲线积分的计算
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第1题计算题
1．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3} \cos y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和平面 $\displaystyle x+z=a$ 的交线．
（1） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3} \cos y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和平面 $\displaystyle x+z=a$ 的交线．
第2题计算题
2．设 $\displaystyle L$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，计算下列曲线积分．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-231.jpg?height=1168&width=1216&top_left_y=801&top_left_x=4379}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.2}
\end{figure}
（1） $\displaystyle \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ 或 $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s$ ．
（2）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}+2 z\right) \mathrm{d} s$ 或 $\displaystyle \oint_{L}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} s$ 或 $\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}+2 y+z\right) \mathrm{d} s$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+y\right) \mathrm{d} s .(a=1$ ：武汉科技 2012）
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} s$ ．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left((x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．$\displaystyle (a=1$ ：华中科技 2012）
（7） $\displaystyle \int_{L} x y \mathrm{~d} s$ 或 $\displaystyle \int_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s$ ．（中山大学 2014，武汉大学 2014，南航 2010，湘潭大学 2013（a＝2））
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-231.jpg?height=1168&width=1216&top_left_y=801&top_left_x=4379}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.2}
\end{figure}
（1） $\displaystyle \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ 或 $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s$ ．
（2）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}+2 z\right) \mathrm{d} s$ 或 $\displaystyle \oint_{L}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} s$ 或 $\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}+2 y+z\right) \mathrm{d} s$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+y\right) \mathrm{d} s .(a=1$ ：武汉科技 2012）
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} s$ ．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left((x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．$\displaystyle (a=1$ ：华中科技 2012）
（7） $\displaystyle \int_{L} x y \mathrm{~d} s$ 或 $\displaystyle \int_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s$ ．（中山大学 2014，武汉大学 2014，南航 2010，湘潭大学 2013（a＝2））
第3题计算题
3．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right] \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle x+y+\dot{z}=1$ 的交线．
（2） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right] \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle x+y+\dot{z}=1$ 的交线．
（2） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线．
第4题未分类
4．设曲线 $\displaystyle \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的周长和所围成的面积分别为 $\displaystyle L$ 和 $\displaystyle S$ ，令 $\displaystyle J=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+2 x y+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，则 $\displaystyle J=\frac{S^{2} L}{\pi^{2}}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-233.jpg?height=1209&width=1286&top_left_y=4517&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.6}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-233.jpg?height=1209&width=1286&top_left_y=4517&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.6}
\end{figure}
第5题计算题
5．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与 $\displaystyle x=y$ 的交线．（浙江理 $\displaystyle I$ 2007）
（2） $\displaystyle \int_{L}|y| \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和平面 $\displaystyle x=y$ 的交线．
（1） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与 $\displaystyle x=y$ 的交线．（浙江理 $\displaystyle I$ 2007）
（2） $\displaystyle \int_{L}|y| \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和平面 $\displaystyle x=y$ 的交线．
第6题计算题
6．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．其中 $\displaystyle C$ 为 $\displaystyle (0,0),(2,0),(0,1)$ 为顶点的三角形．
第7题证明题
7．证明： $\displaystyle 5 \mathrm{e}^{-\frac{9}{2}} \leqslant \int_{C} \mathrm{e}^{-\sqrt{x^{3} y}} \mathrm{~d} s \leqslant 5$ ，其中 $\displaystyle C$ 为直线 $\displaystyle 3 x+4 y-12=0$ 介于两坐标轴之间的线段．
第39题计算题
39．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $\displaystyle C$ 外法线的方向余弦，$\displaystyle A$ 是曲线 $\displaystyle C$ 围成区域的面积．
（2）$\displaystyle I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $\displaystyle L$ 的单位切向量，指向反时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $\displaystyle C$ 外法线的方向余弦，$\displaystyle A$ 是曲线 $\displaystyle C$ 围成区域的面积．
（2）$\displaystyle I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $\displaystyle L$ 的单位切向量，指向反时针方向．