第一型曲面积分的计算
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第8题计算题
8．计算下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 截下的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 的内部．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ 或 $\displaystyle \iint_{S}(x+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=2 a z(a>0)$ 被曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截取的有限部分．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 的内部．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 截下的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 的内部．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ 或 $\displaystyle \iint_{S}(x+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=2 a z(a>0)$ 被曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截取的有限部分．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 的内部．
第9题计算题
9．设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}\right) \mathrm{d} S$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$.
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S(a=1$ ：吉林大学 2006）
（4） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z)^{3} \mathrm{~d} S .(a=1$ ：吉林大学 2007）
（6） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{7} y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：中科大 2008）
（7） $\displaystyle \iint_{S}\left(6 x^{2}+4 y x^{2}+z\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：湖南大学 2011）
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}\right) \mathrm{d} S$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$.
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S(a=1$ ：吉林大学 2006）
（4） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z)^{3} \mathrm{~d} S .(a=1$ ：吉林大学 2007）
（6） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{7} y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：中科大 2008）
（7） $\displaystyle \iint_{S}\left(6 x^{2}+4 y x^{2}+z\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：湖南大学 2011）
第10题计算题
10．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(2 x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},(z \geqslant 0)$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ 其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle z=0$ 所围下半球面的边界曲面。
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \mathrm{d} S, \beta>-1$ ，用 $\displaystyle \Gamma(s)$ 函数表示之，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(2 x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},(z \geqslant 0)$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ 其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle z=0$ 所围下半球面的边界曲面。
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \mathrm{d} S, \beta>-1$ ，用 $\displaystyle \Gamma(s)$ 函数表示之，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．
第11题计算题
11．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 的边界曲面。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{z^{2}+y^{2}} \leqslant x \leqslant 2$ 的边界曲面．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 的边界曲面。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{z^{2}+y^{2}} \leqslant x \leqslant 2$ 的边界曲面．
第12题计算题
12．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $\displaystyle x O y$ 面上方的部分。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上方的抛物面 $\displaystyle z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $\displaystyle x O y$ 面上方的部分。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上方的抛物面 $\displaystyle z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
第13题求解题
13．求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=4(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ．
第14题计算题
14．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 所截取的部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 截下的一块曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=y$ 截下的一块曲面．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z^{2}=k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 含在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x$ 内部的部分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 所截取的部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 截下的一块曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=y$ 截下的一块曲面．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z^{2}=k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 含在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x$ 内部的部分．
第16题求解题
16．求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分．
第17题求解题
17．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}(z \geqslant 0)$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R x$ 内部的部分．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。重庆大学 2010）
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}(z \geqslant 0)$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R x$ 内部的部分．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。重庆大学 2010）
第18题求解题
18．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\ 0, z<\sqrt{x^{2}+y^{2}},\end{array}\right\}$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 。苏州大学 2015，兰州大学 2010，地质大学 2005，华东师大 2003，北京理工 2005（半径为 $\displaystyle t$ ））
（2） $\displaystyle \iint_{x+y+z=1} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1,\end{array}\right.$
（1） $\displaystyle \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\ 0, z<\sqrt{x^{2}+y^{2}},\end{array}\right\}$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 。苏州大学 2015，兰州大学 2010，地质大学 2005，华东师大 2003，北京理工 2005（半径为 $\displaystyle t$ ））
（2） $\displaystyle \iint_{x+y+z=1} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1,\end{array}\right.$
第19题计算题
19．求立体的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
第19题求解题
19．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{z}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 截得的球冠部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{(1+x+y)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为四面体 $\displaystyle x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 的边界曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{1-z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{z}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 截得的球冠部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{(1+x+y)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为四面体 $\displaystyle x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 的边界曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{1-z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 。
第20题计算题
20．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R \neq h, h>0)$ ．
（2）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心，$\displaystyle a(a>0)$ 为半径的上半球面．
（3）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心， 2 为半径的上半球面被 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截下的部分．
（1） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R \neq h, h>0)$ ．
（2）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心，$\displaystyle a(a>0)$ 为半径的上半球面．
（3）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心， 2 为半径的上半球面被 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截下的部分．
第21题证明题
21．证明：对连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，有 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ．
第22题证明题
22．证明 Possion 公式： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数．
第23题求解题
23．设球面 $\displaystyle \Sigma$ 的半径为 $\displaystyle R$ ，球心在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上．问当 $\displaystyle R$ 何值时，$\displaystyle \Sigma$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 内部的面积最大？并求该最大面积．
第23题证明题
23．设 $\displaystyle B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球面，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上连续，证明：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 。
第24题求解题
24．求第一型曲面积分．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到椭球面 $\displaystyle \sum: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{f(x, y, z)}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle \Sigma: \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（3）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到椭球面 $\displaystyle \sum: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{f(x, y, z)}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle \Sigma: \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（3）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
第25题求解题
25．求第一型曲面积分．
（1）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \rho \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, a, b, c>0, \rho$ 为原点到 $\displaystyle S$的切平面的距离．
（2）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\rho^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, A$ 是 $\displaystyle \Sigma$ 内部一点，它与原点的距离为 $\displaystyle q, 0<q<1, \rho$ 为点 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle \Sigma$ 上的点之间的距离．
（1）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \rho \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, a, b, c>0, \rho$ 为原点到 $\displaystyle S$的切平面的距离．
（2）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\rho^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, A$ 是 $\displaystyle \Sigma$ 内部一点，它与原点的距离为 $\displaystyle q, 0<q<1, \rho$ 为点 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle \Sigma$ 上的点之间的距离．