第一换元积分法（凑微分法）
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第1题计算题
1．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
第2题计算题
2．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
第2题计算题
2．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
第3题计算题
3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
第7题计算题
7．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
第8题计算题
8．设 $\displaystyle n$ 为自然数，求下列不定积分的递推公式．
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
第8题计算题
8．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第9题计算题
9．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第9题证明题
9．求证下列问题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
第11题求解题
11．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第11题计算题
11．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
第12题求解题
12．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第14题计算题
14．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
第15题计算题
15．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
第16题计算题
16．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
第17题计算题
17．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
第18题证明题
18．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第19题计算题
19．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1}$（常数 $\displaystyle \alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ）．
第21题求解题
21．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
第29题计算题
29．计算 $\displaystyle I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \frac{\pi}{2 t} \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x,(t>0)$ ．