第二型曲线积分的定义（对坐标的曲线积分）
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第18题求解题
18．设 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x y$ 平面上的任意闭曲线，$\displaystyle L$ 所围成的面积为 $\displaystyle S$ ，且在曲线 $\displaystyle L$ 上满足条件 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{\mathrm{e}^{y}+2 x+3 y}{\mathrm{e}^{x}+x+y}$ ．试求 $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 取逆时针方向．
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
第26题证明题
26．设 $\displaystyle P(x, y)$ 与 $\displaystyle Q(x, y)$ 为两个二次连续可微的函数，且使得对任何封闭曲线 $\displaystyle C$ ，如下曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} P(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} x+Q(x+\alpha, y+\beta) \mathrm{d} y$ 与常数 $\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 无关，试证明 $\displaystyle \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}=k$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．
第28题计算题
28．计算曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为任一不包含原点的闭区域的边界，方向逆时针；
（2）$\displaystyle L$ 为围绕原点的光滑闭曲线，取正向；
（3）$\displaystyle L$ 为不经过原点的简单闭曲线．
分析：若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则在此区域内曲线积分与路径无关。
若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，那么 $\displaystyle P, Q$ 在 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域上不满足格林公式。此时，取一条特殊的封闭光滑曲线 $\displaystyle L_{1}$ ，在 $\displaystyle L+L_{1}$ 上应用 Green 公式，将 $\displaystyle L$ 上的曲线积分转化为 $\displaystyle L_{1}$ 上的曲线积分．
（1）$\displaystyle L$ 为任一不包含原点的闭区域的边界，方向逆时针；
（2）$\displaystyle L$ 为围绕原点的光滑闭曲线，取正向；
（3）$\displaystyle L$ 为不经过原点的简单闭曲线．
分析：若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则在此区域内曲线积分与路径无关。
若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，那么 $\displaystyle P, Q$ 在 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域上不满足格林公式。此时，取一条特殊的封闭光滑曲线 $\displaystyle L_{1}$ ，在 $\displaystyle L+L_{1}$ 上应用 Green 公式，将 $\displaystyle L$ 上的曲线积分转化为 $\displaystyle L_{1}$ 上的曲线积分．
第29题计算题
29．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半椭圆．（湖北大学 $\displaystyle 2003\left(x^{2}+4 y^{2}=1\right)$ ，聊城大学 2011（ $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ ））
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为正．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正．
（1） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半椭圆．（湖北大学 $\displaystyle 2003\left(x^{2}+4 y^{2}=1\right)$ ，聊城大学 2011（ $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ ））
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-y\right) \mathrm{d} x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为正．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正．
第30题计算题
30．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为平面上任一不包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（2）$\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（3）$\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线．
（1）$\displaystyle L$ 为平面上任一不包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（2）$\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向；
（3）$\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线．
第31题未分类
31．设 $\displaystyle L$ 为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线，对曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ ， $\displaystyle \left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 有下列结论：
I 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=0$ ；
II 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{c_{1} c_{2}}}$ ．
III利用上述结论，求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R>1)$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=R^{2}(R \neq 1)$（按逆时针方向）．
（5） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (-1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=R^{2}, 0<R \neq 1$ ，取逆时针方向．（华南师大 2005，辽宁大学 2005，安徽大学 2009 \2007，东北大学 2003，聊城大学 2012，曲阜师大 2009（ $\displaystyle R=3$ ），苏州科技 2011）
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+9 y^{2}}, L$ 为取反时针方向的单位圆周．（湖南师大 2011，华中科大 2004／2003，宁波大学 2009（ $\displaystyle L: 4 x^{2}+9 y^{2}=1$ ，逆时针方向），福州大学 2009）
（8）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+9 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（9）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^{2}+3 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，逆时针方向．
（10）$\displaystyle I=\int_{c} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}=1$ 沿逆时针方向．
（11） $\displaystyle \int_{C} \frac{y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（12） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向．
I 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域不包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=0$ ；
II 若给定的曲线 $\displaystyle L$ 所围成的闭区域包括原点 $\displaystyle (0,0)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{c_{1} c_{2}}}$ ．
III利用上述结论，求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R>1)$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=R^{2}(R \neq 1)$（按逆时针方向）．
（5） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle (-1,0)$ 为圆心，以 $\displaystyle R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=R^{2}, 0<R \neq 1$ ，取逆时针方向．（华南师大 2005，辽宁大学 2005，安徽大学 2009 \2007，东北大学 2003，聊城大学 2012，曲阜师大 2009（ $\displaystyle R=3$ ），苏州科技 2011）
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+9 y^{2}}, L$ 为取反时针方向的单位圆周．（湖南师大 2011，华中科大 2004／2003，宁波大学 2009（ $\displaystyle L: 4 x^{2}+9 y^{2}=1$ ，逆时针方向），福州大学 2009）
（8）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+9 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．
（9）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^{2}+3 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，逆时针方向．
（10）$\displaystyle I=\int_{c} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为椭圆 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}=1$ 沿逆时针方向．
（11） $\displaystyle \int_{C} \frac{y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（12） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一包含原点在内的区域的边界，逆时针方向．
第32题证明题
32．设 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的正向光滑封闭简单曲线．试证明：曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} y-\left(y-y_{0}\right) \mathrm{d} x}{c_{1}\left(x-x_{0}\right)^{2}+c_{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 的值为常数，并求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-\left(y-2^{-1}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+\left(y-2^{-1}\right)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 从 $\displaystyle A(1,0)$ 经上半单位圆周到 $\displaystyle B(-1,0)$ ，再经过直线段 $\displaystyle B A$ 回到 $\displaystyle A$ 点．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} y}{(x+1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ ，取正向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-8 x=0$ ，取正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ ，取正向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{4(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周：$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，取正向．
（7）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x-1) \mathrm{d} y-(y-2) \mathrm{d} x}{4(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle (1,2)$ 得正向光滑封闭简单曲线．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-\left(y-2^{-1}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+\left(y-2^{-1}\right)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 从 $\displaystyle A(1,0)$ 经上半单位圆周到 $\displaystyle B(-1,0)$ ，再经过直线段 $\displaystyle B A$ 回到 $\displaystyle A$ 点．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} y}{(x+1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ ，取正向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-8 x=0$ ，取正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ ，取正向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{4(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周：$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，取正向．
（7）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x-1) \mathrm{d} y-(y-2) \mathrm{d} x}{4(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面内任意一条不经过点 $\displaystyle (1,2)$ 得正向光滑封闭简单曲线．
第33题证明题
33．设 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向。证明：当 $\displaystyle a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ 的值恒为常数，并求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(2 x-y) \mathrm{d} x+(2 y+x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向．（桂林电子科大2010）
（2）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上不过原点的任一光滑闭曲线，取逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为星形线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中为正方形 $\displaystyle |x|+|y| \leqslant 2$ 的边界，逆时针方向。
（8）$\displaystyle \oint_{C} \frac{(y+9 x) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{9 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为单位圆周，逆时针为正向．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(2 x-y) \mathrm{d} x+(2 y+x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为绕原点一周的任意简单曲线，取逆时针方向．（桂林电子科大2010）
（2）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上不过原点的任一光滑闭曲线，取逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向．
（5）$\displaystyle \oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为星形线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ ，逆时针方向．
（6） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中为正方形 $\displaystyle |x|+|y| \leqslant 2$ 的边界，逆时针方向。
（8）$\displaystyle \oint_{C} \frac{(y+9 x) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{9 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为单位圆周，逆时针为正向．
第34题证明题
34．设 $\displaystyle L$ 为一条不通过原点的光滑曲线，取逆时针方向，证明：当 $\displaystyle a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ 与路径无关 $\displaystyle \left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ ，并求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y, a>0$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 经过 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$的线段。
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的一条不通过原点的光滑曲线：$\displaystyle y=f(x), x \in[-1,1]$ ，且当 $\displaystyle x \in(-1,1)$ 时，$\displaystyle f(x)>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-a, 0)$ 经上半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \geqslant b)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$ 的弧段．，华南师大2009）
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y=1-2 x^{2}$ 自点 $\displaystyle A(-1,1)$ 至点 $\displaystyle B(1,-1)$ 的弧段．
（1） $\displaystyle \int \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y, a>0$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 经过 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$的线段。
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的一条不通过原点的光滑曲线：$\displaystyle y=f(x), x \in[-1,1]$ ，且当 $\displaystyle x \in(-1,1)$ 时，$\displaystyle f(x)>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-a, 0)$ 经上半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \geqslant b)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$ 的弧段．，华南师大2009）
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y=1-2 x^{2}$ 自点 $\displaystyle A(-1,1)$ 至点 $\displaystyle B(1,-1)$ 的弧段．
第55题计算题
55．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0,2)$ 的任一条光滑曲线．
（2）$\displaystyle \oint_{A M B}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle A M B$ 为从点 $\displaystyle A(a, 0,0)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0, h)$ 沿着 $\displaystyle x=a \cos \varphi, y=a \sin \phi, z=\frac{h}{2 \pi} \varphi$ 所取的．
（3） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos 2008 \pi t, y=\cos 2008 \pi t, z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1}, t \in[0,1]$ ，从点（ $\displaystyle 1,1,0$ ）到点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）的部分。
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0,2)$ 的任一条光滑曲线．
（2）$\displaystyle \oint_{A M B}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle A M B$ 为从点 $\displaystyle A(a, 0,0)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0, h)$ 沿着 $\displaystyle x=a \cos \varphi, y=a \sin \phi, z=\frac{h}{2 \pi} \varphi$ 所取的．
（3） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos 2008 \pi t, y=\cos 2008 \pi t, z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1}, t \in[0,1]$ ，从点（ $\displaystyle 1,1,0$ ）到点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）的部分。
第56题计算题
56．计算 $\displaystyle \int_{c}(y+z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle C$ 为依参数 $\displaystyle t$ 增大的方向通过的椭圆 $\displaystyle x=a \sin ^{2} t, y=2 a \sin t \cos t, z=a \cos ^{2} t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ 。
第57题求解题
57．求 $\displaystyle I=\oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中曲线 $\displaystyle L$ 为闭曲线 $\displaystyle x=a \sin ^{2} t, y=2 a \sin t \cos t$ ， $\displaystyle z=a \cos ^{2} t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ ，曲线 $\displaystyle L$ 的方向按 $\displaystyle t$ 从 0 到 $\displaystyle \pi$ ．
第58题证明题
58．证明 $\displaystyle \left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 在整个 $\displaystyle x y$ 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数。若有力场 $\displaystyle F=\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) i+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) j$ ，求质点在此力场内沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 从点 $\displaystyle A:(-2,0)$ 移动至点 $\displaystyle B:(0, \sqrt{3})$ 时，场力所做的功．
第60题证明题
60．设 $\displaystyle C$ 为空间按段光滑闭曲线，$\displaystyle f(x), \mathrm{g}(x), h(x)$ 连续，证明：
$$
\oint_{C}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
$$
\oint_{C}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$