第二型曲线积分的计算
按知识点浏览 · 共 34 题
第1题计算题
1．计算下列第二型曲线积分，其中有向曲线 $\displaystyle L$ 为沿着正弦曲线 $\displaystyle y=\sin x$ ，由点 $\displaystyle O(0,0)$ 到点 $\displaystyle A(\pi, 0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y .(a=1:$ 北京大学 2015，武汉理工 2009，湖南大学 2004，徐州师大 2007；$\displaystyle a=2$ ：东北大学 2003）
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x}(a-\cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y .(a=1:$ 北京大学 2015，武汉理工 2009，湖南大学 2004，徐州师大 2007；$\displaystyle a=2$ ：东北大学 2003）
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-\cos y\right) \mathrm{d} x+x \sin y \mathrm{~d} y$ 。
第3题计算题
3．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{A B}\left(\mathrm{e}^{y} \sin x+m x\right) \mathrm{d} y+\left(\mathrm{e}^{y} \cos x-m y\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为按逆时针方向的 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 \pi x-\frac{3}{4} \pi^{2}$ 上半部的路线．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-a y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-b x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (a, 0)$ 经点 $\displaystyle M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}\right)$ 到点 $\displaystyle (b, 0)$的半圆周．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x-y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle (0,0)$的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}+x^{3}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半圆从点
$\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ 的路径。
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半部分，方向从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ ．
分析：添加曲线段使非闭积分曲线变成闭积分曲线，再利用格林公式．
（1） $\displaystyle \int_{A B}\left(\mathrm{e}^{y} \sin x+m x\right) \mathrm{d} y+\left(\mathrm{e}^{y} \cos x-m y\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为按逆时针方向的 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 \pi x-\frac{3}{4} \pi^{2}$ 上半部的路线．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-a y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-b x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (a, 0)$ 经点 $\displaystyle M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}\right)$ 到点 $\displaystyle (b, 0)$的半圆周．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x-y)\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (2 a, 0)$ 沿 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle (0,0)$的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}+x^{3}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为沿 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半圆从点
$\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ 的路径。
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ 的上半部分，方向从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (2,0)$ ．
分析：添加曲线段使非闭积分曲线变成闭积分曲线，再利用格林公式．
第4题计算题
4．设 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(a, 0)$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(y \geqslant 0, a>0)$ ，取逆时针方向，计算下列曲线积分。
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y, m$ 是常数．（湖南师大 2013，上海大学 2013，沈阳 工 大 2012，延安大学 2002，苏州科技 2009，南昌大学 2003，福州大学 2004，江苏大学 2004，湖北大学 2010，西北大学 2000，武汉理工 2007，北京科技 2008，天津大学 2003，广西大学 2004，北航 2007，兰州大学 2002，东华大学 $\displaystyle 2010(a=2)$ ，徐州师大 $\displaystyle 2006(m=1, a=2)$ ，上海理工 $\displaystyle 2005(m=8)$ ，宁波大学 $\displaystyle 2010(m=5)$ ，浙江师大 $\displaystyle 2010(m=2, L$ 为 $\displaystyle \left.(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\right)$
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2\right) \mathrm{d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} y-\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} x$ 。华中师大 $\displaystyle 2007 a=2$ ）
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y, m$ 是常数．（湖南师大 2013，上海大学 2013，沈阳 工 大 2012，延安大学 2002，苏州科技 2009，南昌大学 2003，福州大学 2004，江苏大学 2004，湖北大学 2010，西北大学 2000，武汉理工 2007，北京科技 2008，天津大学 2003，广西大学 2004，北航 2007，兰州大学 2002，东华大学 $\displaystyle 2010(a=2)$ ，徐州师大 $\displaystyle 2006(m=1, a=2)$ ，上海理工 $\displaystyle 2005(m=8)$ ，宁波大学 $\displaystyle 2010(m=5)$ ，浙江师大 $\displaystyle 2010(m=2, L$ 为 $\displaystyle \left.(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\right)$
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2\right) \mathrm{d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} y-\mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} x$ 。华中师大 $\displaystyle 2007 a=2$ ）
第5题计算题
5．计算下列第二型曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^{x} \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周和从点 $\displaystyle B(-1,0)$ 到点 $\displaystyle A(1,0)$ 的直线段组成的闭路．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ ， $\displaystyle -1 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的弧段，$\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (0,0)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的上半圆周，逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^{x} \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周和从点 $\displaystyle B(-1,0)$ 到点 $\displaystyle A(1,0)$ 的直线段组成的闭路．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos y+x^{4}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ ， $\displaystyle -1 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(f^{\prime}(x) \sin y-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(f(x) \cos y+x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆从点 $\displaystyle A(1,0)$ 到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的弧段，$\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(-1,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 以 $\displaystyle (0,0)$ 为心，以 $\displaystyle a$ 为半径的上半圆周，逆时针方向．
第6题计算题
6．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}\left(\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \varphi(y), \varphi^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle \overparen{A M B}$ 是连接点 $\displaystyle A(1,2)$ 到点 $\displaystyle B(3,4)$ 的任意简单路径（方向从 $\displaystyle A$ 到 $\displaystyle B$ ），但它与直线 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle s>0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数， $\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 2)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle \pi$ 。
（3） $\displaystyle \int_{A M B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 4)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle a$ ．
分析：对非闭路的积分，常采用补加曲线变成闭曲线的积分．
（1） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}\left(\varphi(y) \mathrm{e}^{x}-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\varphi^{\prime}(y) \mathrm{e}^{x}-m\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle \varphi(y), \varphi^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle \overparen{A M B}$ 是连接点 $\displaystyle A(1,2)$ 到点 $\displaystyle B(3,4)$ 的任意简单路径（方向从 $\displaystyle A$ 到 $\displaystyle B$ ），但它与直线 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle s>0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{\overparen{A M B}}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数， $\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 2)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle \pi$ 。
（3） $\displaystyle \int_{A M B}(f(y) \cos x-\pi y) \mathrm{d} x+\left(f^{\prime}(y) \sin x-\pi\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), f^{\prime}(y)$ 为平面 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的连续函数，$\displaystyle A M B$ 是连接点 $\displaystyle A(\pi, 2)$ 到点 $\displaystyle B(3 \pi, 4)$ 的线段 $\displaystyle A B$ 之下方的任意简单路径，它与线段 $\displaystyle A B$ 围成的区域面积为定值 $\displaystyle a$ ．
分析：对非闭路的积分，常采用补加曲线变成闭曲线的积分．
第8题计算题
8．计算曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle a$ 为半径，圆心在原点的右半圆周从点 $\displaystyle A(0, a)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$的一段。
（2） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ ，逆时针方向。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{2}\right) x \mathrm{~d} y+\left(1-x^{2}\right) y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
（1） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle a$ 为半径，圆心在原点的右半圆周从点 $\displaystyle A(0, a)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0)$的一段。
（2） $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ ，逆时针方向。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(1+y^{2}\right) x \mathrm{~d} y+\left(1-x^{2}\right) y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，逆时针方向．
第9题计算题
9．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}(\sin x+y)^{2} \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2} \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 上从点 $\displaystyle (-1,1)$ 到 $\displaystyle (1,1)$ 的弧段．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 表示逆时针方向的左半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ， $\displaystyle (x \leqslant 0, a, b>0)$.
（3） $\displaystyle \int_{C} \frac{3 x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{4 y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（4） $\displaystyle \int_{c} \frac{x^{3} \mathrm{~d} x-y^{3} \mathrm{~d} y}{x^{4}+y^{4}}$ ．其中 $\displaystyle C$ 是单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针为正向．
（1） $\displaystyle \int_{L}(\sin x+y)^{2} \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2} \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 上从点 $\displaystyle (-1,1)$ 到 $\displaystyle (1,1)$ 的弧段．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 表示逆时针方向的左半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ， $\displaystyle (x \leqslant 0, a, b>0)$.
（3） $\displaystyle \int_{C} \frac{3 x}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{4 y}{3 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为正向．
（4） $\displaystyle \int_{c} \frac{x^{3} \mathrm{~d} x-y^{3} \mathrm{~d} y}{x^{4}+y^{4}}$ ．其中 $\displaystyle C$ 是单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针为正向．
第11题计算题
11．计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(12 x y+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x-\left(\cos y-x \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O$ ，再沿 $\displaystyle O x$ 轴到点 $\displaystyle B(2,0)$ 的路径．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿 $\displaystyle x$ 轴到点 $\displaystyle B(3,0)$ 的路径。
（3）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=1-\sqrt{1-x^{2}}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿直线 $\displaystyle y=0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的路径。
（1）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O$ ，再沿 $\displaystyle O x$ 轴到点 $\displaystyle B(2,0)$ 的路径．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿 $\displaystyle x$ 轴到点 $\displaystyle B(3,0)$ 的路径。
（3）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=1-\sqrt{1-x^{2}}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿直线 $\displaystyle y=0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的路径。
第13题计算题
13．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-x\right) \mathrm{d} y\left(L\right.$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 逆时针方向）．
（2） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 按 $\displaystyle x$ 轴增大方向．（中山大学 2011，华东理工 2004，复旦大学 2000 ，宁波大学 2011 ，湘潭大学 2005 ，西北大学 2004（ $\displaystyle \pi<x<3 \pi$ ））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(2 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 由点 $\displaystyle A(1,0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{R^{2}+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 由点 $\displaystyle A(R, 0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-R, 0)$ 的半圆（ $\displaystyle R>0$ 为常数）．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-x\right) \mathrm{d} y\left(L\right.$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 逆时针方向）．
（2） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 按 $\displaystyle x$ 轴增大方向．（中山大学 2011，华东理工 2004，复旦大学 2000 ，宁波大学 2011 ，湘潭大学 2005 ，西北大学 2004（ $\displaystyle \pi<x<3 \pi$ ））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(2 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 由点 $\displaystyle A(1,0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-1,0)$ 的半圆．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{y^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{R^{2}+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 由点 $\displaystyle A(R, 0)$ 依逆时针方向转到点 $\displaystyle B(-R, 0)$ 的半圆（ $\displaystyle R>0$ 为常数）．
第14题计算题
14．计算下列第二型曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\mathrm{e}^{x}(x \sin y-y \cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(x \cos y+y \sin y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为包含原点的简单光滑闭曲线，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{C} \frac{\mathrm{e}^{y}}{x^{2}+y^{2}}[(x \sin x+y \cos x) \mathrm{d} x+(y \sin x-x \cos x) \mathrm{d} y]$ ，其中 $\displaystyle C: x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。南开大学 2007，华南理工 2008，上海财经 2007）
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{2}-\sin y^{2}\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 依逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos x^{2}-x^{2} y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{4 x^{2} y-\mathrm{e}^{y^{2}}}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为取逆时针方向的曲线：$\displaystyle x^{2}+4 y^{2}=1$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\mathrm{e}^{x}(x \sin y-y \cos y) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}(x \cos y+y \sin y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为包含原点的简单光滑闭曲线，逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{C} \frac{\mathrm{e}^{y}}{x^{2}+y^{2}}[(x \sin x+y \cos x) \mathrm{d} x+(y \sin x-x \cos x) \mathrm{d} y]$ ，其中 $\displaystyle C: x^{2}+y^{2}=1$ ，逆时针方向。南开大学 2007，华南理工 2008，上海财经 2007）
（3）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{2}-\sin y^{2}\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 依逆时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos x^{2}-x^{2} y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{4 x^{2} y-\mathrm{e}^{y^{2}}}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为取逆时针方向的曲线：$\displaystyle x^{2}+4 y^{2}=1$ ．
第15题计算题
15．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为下半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 沿 $\displaystyle x$ 轴增加的方向。西安电子科大2008）
（2） $\displaystyle \int_{A B}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 由点 $\displaystyle A(0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,1)$ 的曲线 $\displaystyle y^{3}=x^{2}$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{y}+x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为过点 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,2)$ 的圆周从点 $\displaystyle O$ 到点 $\displaystyle B$ 的弧段 $\displaystyle \widehat{O A B}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sin x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x+y \mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 沿 $\displaystyle y=x^{2}$ 从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (1,1)$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 从 $\displaystyle O(0,0)$ 到 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段曲线．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(0,1)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$ 到点 $\displaystyle B(\pi, 0)$ 的弧段．
分析：曲线积分与路径无关，积分表达式为某函数的微分
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为下半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 沿 $\displaystyle x$ 轴增加的方向。西安电子科大2008）
（2） $\displaystyle \int_{A B}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 由点 $\displaystyle A(0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,1)$ 的曲线 $\displaystyle y^{3}=x^{2}$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{y}+x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为过点 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,2)$ 的圆周从点 $\displaystyle O$ 到点 $\displaystyle B$ 的弧段 $\displaystyle \widehat{O A B}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sin x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x+y \mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 沿 $\displaystyle y=x^{2}$ 从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (1,1)$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 从 $\displaystyle O(0,0)$ 到 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段曲线．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(0,1)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$ 到点 $\displaystyle B(\pi, 0)$ 的弧段．
分析：曲线积分与路径无关，积分表达式为某函数的微分
第17题计算题
17．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 从点 $\displaystyle A(0,1)$ 到 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的弧段。武汉理工 2006）
（2） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x y}\left(x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=1+\sqrt{1-x^{2}}$ ，从点 $\displaystyle (1,1)$ 到点 $\displaystyle (-1,1)$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L} f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 为连续函数，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线．
（4） $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ 从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (-1,0)$ 的一段．
分析：曲线积分与路径无关．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 从点 $\displaystyle A(0,1)$ 到 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的弧段。武汉理工 2006）
（2） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x y}\left(x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=1+\sqrt{1-x^{2}}$ ，从点 $\displaystyle (1,1)$ 到点 $\displaystyle (-1,1)$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L} f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 为连续函数，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线．
（4） $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ 从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (-1,0)$ 的一段．
分析：曲线积分与路径无关．
第19题求解题
19．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1+y^{2} f(x y)}{y}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2,3)$ 到点 $\displaystyle B(3,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（3）$\displaystyle L$ 为上半平面 $\displaystyle y>0$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $\displaystyle A(a, b)$ ，终点为 $\displaystyle B(c, d) .(a b=c d)$ ．
提示：被积函数两部分有关联，且 $\displaystyle f$ 可导，考虑积分与路径无关．
（1）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2,3)$ 到点 $\displaystyle B(3,2)$ 的任何分段光滑曲线（不含 $\displaystyle y=0$ 的点）．
（3）$\displaystyle L$ 为上半平面 $\displaystyle y>0$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $\displaystyle A(a, b)$ ，终点为 $\displaystyle B(c, d) .(a b=c d)$ ．
提示：被积函数两部分有关联，且 $\displaystyle f$ 可导，考虑积分与路径无关．
第20题求解题
20．设 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (0,1)$ 到点 $\displaystyle (0,3)$ 的曲线 $\displaystyle x=\sqrt{4 y-y^{2}-3}$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续可微，求 $\displaystyle \int_{L}\left(\frac{1}{y}+y f(x y)\right) \mathrm{d} x+\left(x f(x y)-\frac{x}{y^{2}}+\frac{5 y}{\left(y^{2}+1\right)^{2}}\right) \mathrm{d} y$ 。
分析：曲线积分与路径无关，
分析：曲线积分与路径无关，
第22题证明题
22．证明 Possion 公式： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数．
第22题计算题
22．求下列积分或未知函数．
（1）设曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续导数，且 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，试计算 $\displaystyle I=\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$. ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有连续的导函数，且曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle I=\int_{(0.0)}^{(1.1)}\left(e^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 。
（3）设 $\displaystyle g(u)$ 为连续可微函数，若曲线积分 $\displaystyle \int_{c} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{(0.0)}^{(1.1)} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ ．
（4）设曲线积分 $\displaystyle \int_{C}\left(f(x)-\mathrm{e}^{x}\right) \sin y \mathrm{~d} x-f(x) \cos y \mathrm{~d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle f(x)$ 有一阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．试求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5）当 $\displaystyle x>-1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 连续可导，$\displaystyle f(0)=\frac{6}{5}$ ，对半平面 $\displaystyle x>-1$ 上的任一闭曲线，有
$$
\oint_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y=0
$$
试求 $\displaystyle f(x)$ ，并且计算 $\displaystyle \int_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (2,3)$ 的弧段．（电子科大2011）
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续可微函数，$\displaystyle f(1)=1, G$ 为不包含原点的单连通域，任取 $\displaystyle M, N \in G$ ，在 $\displaystyle G$ 内曲线积分 $\displaystyle \int_{N}^{M} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ 与路径无关。试求 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为
$\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ，取正向．
（1）设曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续导数，且 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，试计算 $\displaystyle I=\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$. ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有连续的导函数，且曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle I=\int_{(0.0)}^{(1.1)}\left(e^{x}+f(x)\right) y \mathrm{~d} x+f(x) \mathrm{d} y$ 。
（3）设 $\displaystyle g(u)$ 为连续可微函数，若曲线积分 $\displaystyle \int_{c} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{(0.0)}^{(1.1)} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y$ ．
（4）设曲线积分 $\displaystyle \int_{C}\left(f(x)-\mathrm{e}^{x}\right) \sin y \mathrm{~d} x-f(x) \cos y \mathrm{~d} y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle f(x)$ 有一阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．试求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5）当 $\displaystyle x>-1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 连续可导，$\displaystyle f(0)=\frac{6}{5}$ ，对半平面 $\displaystyle x>-1$ 上的任一闭曲线，有
$$
\oint_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y=0
$$
试求 $\displaystyle f(x)$ ，并且计算 $\displaystyle \int_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (2,3)$ 的弧段．（电子科大2011）
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续可微函数，$\displaystyle f(1)=1, G$ 为不包含原点的单连通域，任取 $\displaystyle M, N \in G$ ，在 $\displaystyle G$ 内曲线积分 $\displaystyle \int_{N}^{M} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ 与路径无关。试求 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为
$\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ，取正向．
第23题求解题
23．求末知函数．
（1）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle t$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。
（2）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle z$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(z, 1)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, z)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。华中科大2005）
（1）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle t$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。
（2）设 $\displaystyle Q(x, y)$ 有连续的一阶偏导数，积分 $\displaystyle \int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 完全决定于 $\displaystyle L$ 的起点与终点，且对任何实数 $\displaystyle z$ 成立等式： $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(z, 1)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1, z)} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，求函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 。华中科大2005）
第35题计算题
35．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\left((\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}\right)^{a}},|\alpha \delta-\beta r| \neq 0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆，$\displaystyle (\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{A x^{2}+2 B x y+C y^{2}}$ ，$\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的逆时针方向．（哈工大 2003，重庆大学 2013（A＝1））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{(x+y)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+x y+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为逆时针方向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5）$\displaystyle I=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} \frac{X \mathrm{~d} Y-Y \mathrm{~d} X}{X^{2}+Y^{2}}$ ，其中：$\displaystyle X=a x+b y, Y=c x+e y, L$ 为包围原点的简单闭曲线 $\displaystyle (a e-c b \neq 0)$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\left((\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}\right)^{a}},|\alpha \delta-\beta r| \neq 0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆，$\displaystyle (\alpha x+\beta y)^{2}+(r x+\delta y)^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{A x^{2}+2 B x y+C y^{2}}$ ，$\displaystyle L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的逆时针方向．（哈工大 2003，重庆大学 2013（A＝1））
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{(x+y)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 的正向．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+x y+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为逆时针方向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ．
（5）$\displaystyle I=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} \frac{X \mathrm{~d} Y-Y \mathrm{~d} X}{X^{2}+Y^{2}}$ ，其中：$\displaystyle X=a x+b y, Y=c x+e y, L$ 为包围原点的简单闭曲线 $\displaystyle (a e-c b \neq 0)$ ．
第36题计算题
36．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow \infty} \oint_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\delta}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \oint_{x^{2}+x y+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}$ ．（吉林师大 2003，浙江大学 2015（ $\displaystyle \left.\alpha=1\right) / 1984$ ）
（1） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow \infty} \oint_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\delta}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \oint_{x^{2}+x y+y^{2}=R^{2}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}$ ．（吉林师大 2003，浙江大学 2015（ $\displaystyle \left.\alpha=1\right) / 1984$ ）
第38题证明题
38．证明下列结论．
（1）求证：$\displaystyle \oint_{L} \cos (l, n) \mathrm{d} s=0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上封闭曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 的外法向量，$\displaystyle l$ 为任意方向向量。
（2）设 $\displaystyle L$ 为有界单连通区域 $\displaystyle D$ 的边界，且是逐段光滑曲线．$\displaystyle A(\xi, \eta)$ 为平面上一定点，$\displaystyle r$ 为 $\displaystyle L$上点 $\displaystyle (x, y)$ 到点 $\displaystyle A$ 的向量，$\displaystyle r=r(x, y)$ 为 $\displaystyle r$ 的长度．证明：（1）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的内部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=0$ ； （2）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的外部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=2 \pi$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法向量，$\displaystyle (r, n)$ 为向量 $\displaystyle r$与 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的夹角．
（1）求证：$\displaystyle \oint_{L} \cos (l, n) \mathrm{d} s=0$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面上封闭曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 的外法向量，$\displaystyle l$ 为任意方向向量。
（2）设 $\displaystyle L$ 为有界单连通区域 $\displaystyle D$ 的边界，且是逐段光滑曲线．$\displaystyle A(\xi, \eta)$ 为平面上一定点，$\displaystyle r$ 为 $\displaystyle L$上点 $\displaystyle (x, y)$ 到点 $\displaystyle A$ 的向量，$\displaystyle r=r(x, y)$ 为 $\displaystyle r$ 的长度．证明：（1）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的内部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=0$ ； （2）点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle L$ 的外部时，$\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=2 \pi$ ，其中 $\displaystyle n$ 为 $\displaystyle L$ 上点 $\displaystyle (x, y)$ 处的外法向量，$\displaystyle (r, n)$ 为向量 $\displaystyle r$与 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 的夹角．
第39题计算题
39．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $\displaystyle C$ 外法线的方向余弦，$\displaystyle A$ 是曲线 $\displaystyle C$ 围成区域的面积．
（2）$\displaystyle I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $\displaystyle L$ 的单位切向量，指向反时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $\displaystyle C$ 外法线的方向余弦，$\displaystyle A$ 是曲线 $\displaystyle C$ 围成区域的面积．
（2）$\displaystyle I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $\displaystyle L$ 的单位切向量，指向反时针方向．
第42题计算题
42．计算下列曲线积分．
（1）计算 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} x-\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, C$ 为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线，取逆时针方向。
（2）设 $\displaystyle C$ 为平面上有界区域 $\displaystyle D$ 的光滑边界曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle C$ 的外法向量，$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．分别就 $\displaystyle C$的两种情况计算 $\displaystyle I=\oint_{C} \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，这里 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 表示沿 $\displaystyle C$ 的外法线方向的导数．
（1）原点在区域 $\displaystyle D$ 的内部；
（2）原点在 $\displaystyle C$ 的外部．
（3）设 $\displaystyle u=x^{3}+2 y^{2}-x y$ ，求曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿 $\displaystyle C$ 外法线的方向导数．
（1）计算 $\displaystyle \oint_{C} \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} x-\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \frac{1}{r}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, C$ 为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线，取逆时针方向。
（2）设 $\displaystyle C$ 为平面上有界区域 $\displaystyle D$ 的光滑边界曲线，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle C$ 的外法向量，$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．分别就 $\displaystyle C$的两种情况计算 $\displaystyle I=\oint_{C} \frac{\partial \ln r}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，这里 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 表示沿 $\displaystyle C$ 的外法线方向的导数．
（1）原点在区域 $\displaystyle D$ 的内部；
（2）原点在 $\displaystyle C$ 的外部．
（3）设 $\displaystyle u=x^{3}+2 y^{2}-x y$ ，求曲线积分 $\displaystyle \oint_{c} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle C$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿 $\displaystyle C$ 外法线的方向导数．
第44题计算题
44．设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, L$ 是 $\displaystyle D$ 的边界曲线，$\displaystyle L$ 取逆时针方向为正向．$\displaystyle n$ 是 $\displaystyle L$ 的外法线方向上的单位向量，$\displaystyle F(P(x, y), Q(x, y))$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的连续可微向量函数。计算极限： $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \oint_{L} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n d s}$ ．
第46题证明题
46．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微，证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 。令 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, n$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上任意一点的外法线方向， $\displaystyle 0<r<1$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} \theta=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} s=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-r^{2}}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ ，求证： $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\pi}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \iint_{D}^{1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 \mathrm{e}}$ ．
（1）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 。令 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, n$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上任意一点的外法线方向， $\displaystyle 0<r<1$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial f}{\partial r} r \mathrm{~d} \theta=\oint_{x^{2}+y^{2}=r^{2}} \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} s=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-r^{2}}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ ，求证： $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\pi}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \iint_{D}^{1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 \mathrm{e}}$ ．
第47题计算题
47．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上二次连续可微．试在下列条件下计算积分：
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}<1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ．
第48题计算题
48．计算下列曲线积分，其中 $\displaystyle L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=a$ 与三坐标平面的交线，其方向为从 $\displaystyle (1,1,1)$看，曲线是逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y .(a=1$ ：电子科技 2002，南昌大学 2008，南京师大 2007，南京财经 2012）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z+2 y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x-(x-z) \mathrm{d} y+(y-x) \mathrm{d} z$ ．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(2 z-3 y) \mathrm{d} x+(x-2 z) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=2)$
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z$ 。（a＝1）
（6）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z .(a=1$ ：电子科技 2009／2007／2013，东南大学 2005，辽宁大学 2005）
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y .(a=1$ ：电子科技 2002，南昌大学 2008，南京师大 2007，南京财经 2012）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z+2 y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x-(x-z) \mathrm{d} y+(y-x) \mathrm{d} z$ ．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(2 z-3 y) \mathrm{d} x+(x-2 z) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=2)$
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z$ 。（a＝1）
（6）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z .(a=1$ ：电子科技 2009／2007／2013，东南大学 2005，辽宁大学 2005）
第49题求解题
49．求下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z\end{array}\right|$ ，其中 $\displaystyle L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围区域的面积为 $\displaystyle A, L$ 依正向进行．
（2）$\displaystyle I=\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为立方体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$和平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，站在第一象限 $\displaystyle x+y+z>\frac{3}{2}$ 处看 $\displaystyle \Gamma$ 为逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 和柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向看去，$\displaystyle L$ 为逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z\end{array}\right|$ ，其中 $\displaystyle L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围区域的面积为 $\displaystyle A, L$ 依正向进行．
（2）$\displaystyle I=\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为立方体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$和平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，站在第一象限 $\displaystyle x+y+z>\frac{3}{2}$ 处看 $\displaystyle \Gamma$ 为逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 和柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向看去，$\displaystyle L$ 为逆时针方向．
第50题计算题
50．计算下列曲线积分，其中 $\displaystyle L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $\displaystyle x$ 轴的正方向看去 $\displaystyle L$ 为逆时针方向。
（1）$\displaystyle \oint_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 。
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（1）$\displaystyle \oint_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 。
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
第51题计算题
51．试计算 $\displaystyle \int_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与球面 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴的正面看上去取逆时针方向。北京大学 2009）
第52题计算题
52．计算下列曲线积分，其中 $\displaystyle L$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{h}=1(a>0, h>0)$ 的交线，从 $\displaystyle O x$ 的正向看去，交线按逆时针方向．
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。电子科技2001，中南大学2001，北京交大2011，西安交大 2001）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。电子科技2001，中南大学2001，北京交大2011，西安交大 2001）
（2）$\displaystyle \oint_{L}(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。
第53题计算题
53．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L} 3 z \mathrm{~d} x+5 x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle z=y+3$ 的交线，从 $\displaystyle x$ 轴的正向看去，呈逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L} z \mathrm{~d} x+2 x \mathrm{~d} y+3 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},(a>0)$ 与平面 $\displaystyle z=x+1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴的正向看去，是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x-y+z=2$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看 $\displaystyle L$ 的方向是顺时针的．
（4）$\displaystyle \oint_{L} x y \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物面 $\displaystyle 2-z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=1$ 截下一块光滑曲面 $\displaystyle S$ 的边界，$\displaystyle L$ 逆时针方向为正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(x+\sqrt{2} y^{3} z\right) \mathrm{d} x+(x-\sqrt{2} y) \mathrm{d} y+(x+y+z) \mathrm{d} z$ 其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=-z$ 的交线，从原点看去是逆时针方向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} x^{2} y^{3} \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=1, x=y$ 所交的椭圆的正方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} x y z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle y=z$ 相交而成的圆，方向依次经过第 $\displaystyle 1,2,7,6$ 卦限．
（1）$\displaystyle \oint_{L} 3 z \mathrm{~d} x+5 x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle z=y+3$ 的交线，从 $\displaystyle x$ 轴的正向看去，呈逆时针方向．
（2）$\displaystyle \oint_{L} z \mathrm{~d} x+2 x \mathrm{~d} y+3 y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},(a>0)$ 与平面 $\displaystyle z=x+1$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴的正向看去，是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x-y+z=2$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看 $\displaystyle L$ 的方向是顺时针的．
（4）$\displaystyle \oint_{L} x y \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是抛物面 $\displaystyle 2-z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=1$ 截下一块光滑曲面 $\displaystyle S$ 的边界，$\displaystyle L$ 逆时针方向为正向．
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(x+\sqrt{2} y^{3} z\right) \mathrm{d} x+(x-\sqrt{2} y) \mathrm{d} y+(x+y+z) \mathrm{d} z$ 其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}=-z$ 的交线，从原点看去是逆时针方向．
（6）$\displaystyle \oint_{L} x^{2} y^{3} \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=1, x=y$ 所交的椭圆的正方向。
（7） $\displaystyle \int_{L} x y z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle y=z$ 相交而成的圆，方向依次经过第 $\displaystyle 1,2,7,6$ 卦限．
第54题计算题
54．计算下列曲线积分．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为球面三角形 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x>0$ ，
$\displaystyle y>0, z>0$ 的边界线，若从 $\displaystyle x$ 轴正向看，$\displaystyle L$ 的方向为顺时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-z\right) \mathrm{d} x+(x-2 y z) \mathrm{d} y+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+y^{2}=2 b x,\end{array} z \geqslant 0,0<2 b<a\right.$ ，从 $\displaystyle z$ 轴的正方向看过去，$\displaystyle L$ 是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 b x$的交线 $\displaystyle z \geqslant 0$ 的部分，曲线的方向规定从 $\displaystyle x$ 轴正向看顺时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(y+z) \mathrm{d} x+z \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x, a>0$ 的交线，沿 $\displaystyle z$ 轴的正面看去按逆时针方向．（厦门大学 2002，哈工大 2006（ $\displaystyle a=1$ ））
（5） $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与平面 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x, y, z>0$ 的交线，从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 沿曲线到点 $\displaystyle (0,0, c)$ 的部分，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（1）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为球面三角形 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x>0$ ，
$\displaystyle y>0, z>0$ 的边界线，若从 $\displaystyle x$ 轴正向看，$\displaystyle L$ 的方向为顺时针方向．
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(y^{2}-z\right) \mathrm{d} x+(x-2 y z) \mathrm{d} y+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+y^{2}=2 b x,\end{array} z \geqslant 0,0<2 b<a\right.$ ，从 $\displaystyle z$ 轴的正方向看过去，$\displaystyle L$ 是逆时针方向．
（3）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 是曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 b x$的交线 $\displaystyle z \geqslant 0$ 的部分，曲线的方向规定从 $\displaystyle x$ 轴正向看顺时针方向．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(y+z) \mathrm{d} x+z \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x, a>0$ 的交线，沿 $\displaystyle z$ 轴的正面看去按逆时针方向．（厦门大学 2002，哈工大 2006（ $\displaystyle a=1$ ））
（5） $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与平面 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x, y, z>0$ 的交线，从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 沿曲线到点 $\displaystyle (0,0, c)$ 的部分，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
第56题计算题
56．计算 $\displaystyle \int_{c}(y+z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle C$ 为依参数 $\displaystyle t$ 增大的方向通过的椭圆 $\displaystyle x=a \sin ^{2} t, y=2 a \sin t \cos t, z=a \cos ^{2} t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ 。
第57题求解题
57．求 $\displaystyle I=\oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中曲线 $\displaystyle L$ 为闭曲线 $\displaystyle x=a \sin ^{2} t, y=2 a \sin t \cos t$ ， $\displaystyle z=a \cos ^{2} t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ ，曲线 $\displaystyle L$ 的方向按 $\displaystyle t$ 从 0 到 $\displaystyle \pi$ ．