第二型曲面积分的计算
按知识点浏览 · 共 35 题
第1题计算题
1．计算下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限曲面的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 部分的外侧，$\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\frac{1}{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{y}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由曲面 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}$ 和 $\displaystyle y=1, y=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+2 y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的内侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限曲面的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 部分的外侧，$\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\frac{1}{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{y}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由曲面 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}$ 和 $\displaystyle y=1, y=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+2 y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的内侧．
第2题计算题
2．计算下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x$ 被圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x,(z>0,0<r<R)$ 所截得的部分，定向取外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0$ 的一半被 $\displaystyle y=0$ 和 $\displaystyle y=h(h>0)$所截下部分的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x$ 被圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x,(z>0,0<r<R)$ 所截得的部分，定向取外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0$ 的一半被 $\displaystyle y=0$ 和 $\displaystyle y=h(h>0)$所截下部分的外侧．
第3题求解题
3．设 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 上侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。华侨大学 2014，首都师大 2008 ，湘潭大学 $\displaystyle 2006 ; \mathrm{a}=3$ 浙江理工 $\displaystyle 2010 ; \mathrm{a}=1$ ：山东科技 2013，山西师大 $\displaystyle 2010 / 2009$ ，上海理工 2007，北京理工 2008，武汉理工 2009）或 $\displaystyle \iint_{S} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（a＝1）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（湖南师大2004（ $\displaystyle a=1$ ））
（6） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（燕山大学 2010／2013，青岛大学 2002，浙江师大 2009，东华大学 2001（a＝1））
（7） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（湖北大学 2006 ，浙江师大 2009，重庆大学 2008（ $\displaystyle a=1$ ），沈阳 工大2010，宁波大学2007）
（8） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（10） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（11） $\displaystyle \iint_{S} x\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (a=1)$
（12） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（13） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}+\frac{1}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+a^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。华侨大学 2014，首都师大 2008 ，湘潭大学 $\displaystyle 2006 ; \mathrm{a}=3$ 浙江理工 $\displaystyle 2010 ; \mathrm{a}=1$ ：山东科技 2013，山西师大 $\displaystyle 2010 / 2009$ ，上海理工 2007，北京理工 2008，武汉理工 2009）或 $\displaystyle \iint_{S} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（a＝1）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（湖南师大2004（ $\displaystyle a=1$ ））
（6） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（燕山大学 2010／2013，青岛大学 2002，浙江师大 2009，东华大学 2001（a＝1））
（7） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（湖北大学 2006 ，浙江师大 2009，重庆大学 2008（ $\displaystyle a=1$ ），沈阳 工大2010，宁波大学2007）
（8） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（10） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（11） $\displaystyle \iint_{S} x\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (a=1)$
（12） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（13） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}+\frac{1}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+a^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第4题求解题
4．设 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（吉林大学2001（ $\displaystyle R=1$ ））
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（浙江大学 2014，南京大学 2004（ $\displaystyle R=1$ ））
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（吉林大学2001（ $\displaystyle R=1$ ））
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（浙江大学 2014，南京大学 2004（ $\displaystyle R=1$ ））
第5题求解题
5．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧．
第9题求解题
9．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+b+c)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+c+a)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+a+b)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+ (z-c)^{2}=R^{2}, z \geqslant c$ 的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}(0 \leqslant z \leqslant a)$ 的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle z=1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+b+c)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+c+a)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+a+b)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+ (z-c)^{2}=R^{2}, z \geqslant c$ 的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}(0 \leqslant z \leqslant a)$ 的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle z=1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
第11题求解题
11．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的上半部分，其定向为下侧，求第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第15题求解题
15．求下列曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间曲面的上侧．
第16题求解题
16．设 $\displaystyle S$ 为锥 面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1$ 和 $\displaystyle z=2$ 之 间 外 侧 表 面，求 曲 面 积 分 $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第17题求解题
17．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 所围空间的整个边界曲面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 之间的部分外侧．华侨大学2011，兰州大学2011，河北大学2008，青岛大学2011，北航）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1$ 的部分，取外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2$ 的表面外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=h(h, R>0)$ 及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1, x \geqslant 0$ 的部分，侧的
方向与 $\displaystyle x$ 轴正向成锐角．
（8）$\displaystyle \oiint_{\Sigma}\left(\frac{x^{2} y}{2} \cos \alpha+\frac{y^{2} z}{2} \cos \beta+\frac{z^{2} x}{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, z=0, z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成区域的边界曲面， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是此边界曲面的外法线矢量的方向余弦。
（9） $\displaystyle \iint_{S_{1}+S_{2}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{1}$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4, x \geqslant 0$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 的部分，法线与 $\displaystyle x$ 轴的正向成锐角．$\displaystyle S_{2}$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0$ 的部分，方向向下。
（1） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 所围空间的整个边界曲面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 之间的部分外侧．华侨大学2011，兰州大学2011，河北大学2008，青岛大学2011，北航）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1$ 的部分，取外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2$ 的表面外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=h(h, R>0)$ 及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1, x \geqslant 0$ 的部分，侧的
方向与 $\displaystyle x$ 轴正向成锐角．
（8）$\displaystyle \oiint_{\Sigma}\left(\frac{x^{2} y}{2} \cos \alpha+\frac{y^{2} z}{2} \cos \beta+\frac{z^{2} x}{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, z=0, z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成区域的边界曲面， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是此边界曲面的外法线矢量的方向余弦。
（9） $\displaystyle \iint_{S_{1}+S_{2}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{1}$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4, x \geqslant 0$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 的部分，法线与 $\displaystyle x$ 轴的正向成锐角．$\displaystyle S_{2}$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0$ 的部分，方向向下。
第18题求解题
18．设 $\displaystyle S$ 是抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2} z$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=b$ 之间部分的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle b=1$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（3） $\displaystyle \iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=2$
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=h^{2}$
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle b=1$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（3） $\displaystyle \iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=2$
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=h^{2}$
第19题求解题
19．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的曲面的外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第20题求解题
20．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2},(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 取上侧。华东师大 2004 ，四川大学 2010，太原科技 2008，东南大学 2007，西安电子科技 2003／2006）
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ 上侧。中山大学 2014）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 在第一卦限部分 $\displaystyle (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧。徐州师大 2010，安徽大学 2007）
（1） $\displaystyle \iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2},(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 取上侧。华东师大 2004 ，四川大学 2010，太原科技 2008，东南大学 2007，西安电子科技 2003／2006）
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ 上侧。中山大学 2014）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 在第一卦限部分 $\displaystyle (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧。徐州师大 2010，安徽大学 2007）
第21题求解题
21．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1$ 被平面 $\displaystyle z=2$ 所截得的一块曲面的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1$ 在 $\displaystyle z \leqslant 0$ 部分的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, 0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向取外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle 4-y=x^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle x O z$ 平面的的右侧部分的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle y=z^{2}+x^{2}$ 与平面图形 $\displaystyle y=1, y=2$ 围成的有界闭区域的边界外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}\left(0 \leqslant y \leqslant h^{2}\right)$ 左侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1$ 被平面 $\displaystyle z=2$ 所截得的一块曲面的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1$ 在 $\displaystyle z \leqslant 0$ 部分的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, 0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向取外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle 4-y=x^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle x O z$ 平面的的右侧部分的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle y=z^{2}+x^{2}$ 与平面图形 $\displaystyle y=1, y=2$ 围成的有界闭区域的边界外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}\left(0 \leqslant y \leqslant h^{2}\right)$ 左侧．
第22题求解题
22．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant 1$ 部分的上侧。
第23题求解题
23．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=5-x^{2}-y^{2}$ 在 $\displaystyle z \geqslant 1$ 的部分取外侧，求第二型曲面积分
（1） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第24题求解题
24．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 部分的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 上 $\displaystyle 1 \leqslant z \leqslant 2$ 部分的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 所围成的闭曲面的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，三个坐标面及 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 所围立体在第一卦限部分的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 部分的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 上 $\displaystyle 1 \leqslant z \leqslant 2$ 部分的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 所围成的闭曲面的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，三个坐标面及 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 所围立体在第一卦限部分的外侧．
第25题求解题
25．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a^{2}$ ，锥
面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体表面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y}{z^{2}}+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{z}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 围成立体的表面外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=1$ 和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a^{2}$ ，锥
面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体表面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y}{z^{2}}+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{z}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 围成立体的表面外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=1$ 和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧．
第26题求解题
26．设 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\mathrm{e}^{y} \\ x=0\end{array}(0<y<a)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第27题计算题
27．设 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1} \\ y=0\end{array} \quad(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转面成的旋转曲面，$\displaystyle S$ 的法向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 与 $\displaystyle x$ 轴的夹角 $\displaystyle \theta>\frac{\pi}{2}$ ．求下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
第28题求解题
28．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。其中 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成的曲面的外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle y O z$ 平面中的曲线 $\displaystyle y=z^{2}$ 线绕 $\displaystyle y$ 轴所生成的旋转曲面在 $\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant 1$ 的部分的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{z^{2}+1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant z \leqslant 2)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle z$ 轴正向的夹角为锐角．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。其中 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成的曲面的外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle y O z$ 平面中的曲线 $\displaystyle y=z^{2}$ 线绕 $\displaystyle y$ 轴所生成的旋转曲面在 $\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant 1$ 的部分的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{z^{2}+1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant z \leqslant 2)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle z$ 轴正向的夹角为锐角．
第29题求解题
29．设 $\displaystyle S$ 为平行六面体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的边界的外表面，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。聊城大学 2014，浙江大学 2011，华侨大学 2012，首都师大 2003，中南大学 2010，上海理 I 2008）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。聊城大学 2014，浙江大学 2011，华侨大学 2012，首都师大 2003，中南大学 2010，上海理 I 2008）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第30题计算题
30．计算： $\displaystyle \iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x), g(y), h(z)$为连续函数，其中 $\displaystyle S:[0, a] \times[0, b] \times[0, c]$ 的边界，外侧．
第31题求解题
31．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x+y+z=1, x, y, z>0$ 方向与坐标轴正向成锐角，求下列第二型曲面积分
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
第32题求解题
32．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 x^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 与三坐标面围成的四面体表面的外侧．
第33题求解题
33．设 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外侧，求下列第三型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。电子科技 2011，苏州科技 2011，南航 2010）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。电子科技 2011，苏州科技 2011，南航 2010）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第34题求解题
34．设 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle |x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的外侧，求下列第二型曲面积分．
$$
\iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
$$
\iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
第38题求解题
38．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 分别为：
（1）$\displaystyle S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$\displaystyle S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧。
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-363.jpg?height=1486&width=4553&top_left_y=787&top_left_x=614}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.175}
\end{figure}
（1）$\displaystyle S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$\displaystyle S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧。
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-363.jpg?height=1486&width=4553&top_left_y=787&top_left_x=614}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.175}
\end{figure}
第39题求解题
39．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 分别为：
（1）$\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 的外侧
（2）$\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geqslant 0)$ 的外侧．
（3）$\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle 1-z=x^{2}+y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（4）$\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=5-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（5）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧。
（6）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（7）$\displaystyle S$ 为抛物面 $\displaystyle 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（1）$\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 的外侧
（2）$\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geqslant 0)$ 的外侧．
（3）$\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle 1-z=x^{2}+y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（4）$\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=5-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（5）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧。
（6）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（7）$\displaystyle S$ 为抛物面 $\displaystyle 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
第40题求解题
40．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．$\displaystyle (a=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．$\displaystyle (a=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
第41题求解题
41．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+R\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+2 R\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+3 R\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 表示上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分．（哈 $\displaystyle I$ 大 2009：$\displaystyle R=1$ ）
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}\left(x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+R\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+2 R\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+3 R\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 表示上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分．（哈 $\displaystyle I$ 大 2009：$\displaystyle R=1$ ）
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}\left(x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
第43题求解题
43．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $\displaystyle S$ 的单位外法向量， $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ 。（1）$\displaystyle S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$\displaystyle S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（3）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}=y^{2}+z^{2}$ 的外侧．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $\displaystyle S$ 的单位外法向量， $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ 。（1）$\displaystyle S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$\displaystyle S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（3）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}=y^{2}+z^{2}$ 的外侧．
第44题求解题
44．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,\left(r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}}\right)$ ，其中（1）$\displaystyle S:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（2）$\displaystyle S: \frac{(x-1)^{2}}{1}+\frac{(y-2)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（3）$\displaystyle S:|x| \leqslant 2,|y| \leqslant 3,|z| \leqslant 4$ 外表面．
（2）$\displaystyle S: \frac{(x-1)^{2}}{1}+\frac{(y-2)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（3）$\displaystyle S:|x| \leqslant 2,|y| \leqslant 3,|z| \leqslant 4$ 外表面．
第48题求解题
48．求第二型曲面积分 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{\cos (r, n)}{r^{2}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为含原点的封闭光滑曲面，$\displaystyle (0,0,0)$ 到 $\displaystyle S$ 上任一点 $\displaystyle (x, y, z)$ 的向量记为 $\displaystyle \boldsymbol{r}$ ，其长度为 $\displaystyle r,(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{r})$ 为的外法向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 与 $\displaystyle \boldsymbol{r}$ 的夹角．
第50题求解题
50．设 $\displaystyle V$ 是不含原点的有界闭区域，其体积为 $\displaystyle V$ ，其边界 $\displaystyle S$ 为光滑的简单闭曲面，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle S$ 的外向单位法向量，$\displaystyle r=(x, y, z), f(t)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续可微函数，满足 $\displaystyle t f^{\prime}(t)+2 f(t)-t=0$ ，求 $\displaystyle \iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ．