第二换元积分法
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第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
第7题计算题
7．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第11题计算题
11．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
第13题求解题
13．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
第20题计算题
20．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
第22题计算题
22．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
第23题计算题
23．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．