等价无穷小及其应用
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第2题讨论/判定题
2．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ ．（广西师大2002，湘潭大学2005（ $\displaystyle x=\pi$ ））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．（浙江工商 2014）
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}},(p>0)$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \sin \frac{1}{n^{\beta}},(\beta>0)$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ ．（广西师大2002，湘潭大学2005（ $\displaystyle x=\pi$ ））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．（浙江工商 2014）
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}},(p>0)$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \sin \frac{1}{n^{\beta}},(\beta>0)$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ ．
第3题讨论/判定题
3．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）
第3题证明题
3．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)$ 的收敛域，并证明该级数在收敛域上是一致收敛的．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛 $\displaystyle \left(0<a<2 \ln ^{2} 2\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 为一个常数，$\displaystyle a_{n} \geqslant 0$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
（1）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)$ 的收敛域，并证明该级数在收敛域上是一致收敛的．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛 $\displaystyle \left(0<a<2 \ln ^{2} 2\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 为一个常数，$\displaystyle a_{n} \geqslant 0$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
第7题计算题
7．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x \sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \ln (1+x)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{\cos x-1}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x+x^{2} \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{x}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{\ln (x+1)}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left(2 \sin \frac{1}{n}-\sin \frac{2}{n}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x \sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \ln (1+x)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{\cos x-1}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x+x^{2} \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{x}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{\ln (x+1)}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left(2 \sin \frac{1}{n}-\sin \frac{2}{n}\right)$ ．
第8题讨论/判定题
8．设 $\displaystyle f(x)=\ln \left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right)$ ，讨论不同的 $\displaystyle p$ 对 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上积分的敛散性．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列反常积分的绝对收敛和条件收敛性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。
第12题计算题
12．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \sin x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\cos x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \tan x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x-\sin x}-1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \sin x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\cos x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \tan x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x-\sin x}-1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
第12题未分类
12．判断下列反常积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
第13题计算题
13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
第14题计算题
14．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
第15题计算题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上．Riemann 可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 4 \ln \left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)$ 。
第15题计算题
15．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．
第17题讨论/判定题
17．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛．
第24题计算题
24．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) .(\alpha=1$ ：南航 2013；$\displaystyle \alpha=2$ ：湖南农大 2008，陕西师大 1997，西北工大 2003）
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)$ 。
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}$.
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) .(\alpha=1$ ：南航 2013；$\displaystyle \alpha=2$ ：湖南农大 2008，陕西师大 1997，西北工大 2003）
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)$ 。
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}$.
第24题求解题
24．求极限中的常数．
（1）确定常数 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n-\beta\right)=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（3）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（4）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（5）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
（6）试求正数 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle b$ 的值，使等式 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立。
（7）设 $\displaystyle a, b, c$ 为实数，且 $\displaystyle b>-1, c \neq 0$ ，试确定 $\displaystyle a, b, c$ 的值，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c$ ．
（1）确定常数 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n-\beta\right)=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（3）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（4）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（5）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
（6）试求正数 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle b$ 的值，使等式 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立。
（7）设 $\displaystyle a, b, c$ 为实数，且 $\displaystyle b>-1, c \neq 0$ ，试确定 $\displaystyle a, b, c$ 的值，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c$ ．
第24题计算题
24．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{a^{x}-1}=2,(a>0, a \neq 1)$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \sin x)}{\tan x}=2$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 。西安电子科技 2005）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，且恒不为 0 ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ ．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{a^{x}-1}=2,(a>0, a \neq 1)$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \sin x)}{\tan x}=2$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 。西安电子科技 2005）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，且恒不为 0 ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ ．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．
第36题证明题
36．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=+\infty$ ，常数 $\displaystyle a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）对正数数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b, a>0, b>0, p, q$ 皆非负，$\displaystyle p+q=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=a^{p} b^{q}$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为严格单调增加的正数列，$\displaystyle \left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 有界．证明：$\displaystyle \left\{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right\}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=+\infty$ ，常数 $\displaystyle a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）对正数数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b, a>0, b>0, p, q$ 皆非负，$\displaystyle p+q=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=a^{p} b^{q}$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为严格单调增加的正数列，$\displaystyle \left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 有界．证明：$\displaystyle \left\{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right\}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)$ ．