级数收敛与发散的定义
按知识点浏览 · 共 8 题
第1题证明题
1．证明下列级数收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．
第9题讨论/判定题
9．讨论级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
第20题证明题
20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<\lambda<1, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+\lambda a_{n-1}+\lambda^{2} a_{n-2}+\cdots+\lambda^{n} a_{0}\right)=\frac{a}{1-\lambda}$ 。
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+2 a_{n-1}+\cdots+(n-1) a_{2}+n a_{1}\right)=A$ ．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫级数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ 。
（4）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ 存在，并求之．
（5）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n}}{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n-1}}{2 n-1}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle 0<\lambda<1, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+\lambda a_{n-1}+\lambda^{2} a_{n-2}+\cdots+\lambda^{n} a_{0}\right)=\frac{a}{1-\lambda}$ 。
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+2 a_{n-1}+\cdots+(n-1) a_{2}+n a_{1}\right)=A$ ．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫级数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ 。
（4）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ 存在，并求之．
（5）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n}}{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n-1}}{2 n-1}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}$ ．
第26题证明题
26．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant n^{\sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leqslant 1$ ；（2）幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 收玫．
第31题求解题
31．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{A_{n}}=0$ ，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径．
第47题证明题
47．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛．
第50题证明题
50．若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫，令 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫．
第51题求解题
51．求下列级数的和．
（1）设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．