级数收敛的必要条件
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第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）证明：若 三角级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 中的系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 满足关系： $\displaystyle \max _{0<n<\infty}\left\{n^{3} a_{n}, n^{3} b_{n}\right\} \leqslant M, M$ 为常数，则上述三角级数收玫，且其和函数具有连续的导函数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，$\displaystyle a_{n}, b_{n},(n=0,1, \cdots)$ 为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数，证明：
$$
\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 可积，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶系数，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
（1）证明：若 三角级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 中的系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 满足关系： $\displaystyle \max _{0<n<\infty}\left\{n^{3} a_{n}, n^{3} b_{n}\right\} \leqslant M, M$ 为常数，则上述三角级数收玫，且其和函数具有连续的导函数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，$\displaystyle a_{n}, b_{n},(n=0,1, \cdots)$ 为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数，证明：
$$
\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 可积，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶系数，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
第22题证明题
22．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$ ，其中 $\displaystyle a>0 .(a=3$ ：浙江师大 $\displaystyle 2011 / 2005$ ，首都师大 $\displaystyle 2013 ; a=7:$ 山东大学；$\displaystyle a=e:$ 上海铁道学院；$\displaystyle a=2$ ：扬州大学2007，中山大学2009）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{\mathrm{e}^{n}}=0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n} n!}{(2 n)^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}=0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$ ，其中 $\displaystyle a>0 .(a=3$ ：浙江师大 $\displaystyle 2011 / 2005$ ，首都师大 $\displaystyle 2013 ; a=7:$ 山东大学；$\displaystyle a=e:$ 上海铁道学院；$\displaystyle a=2$ ：扬州大学2007，中山大学2009）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{\mathrm{e}^{n}}=0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n} n!}{(2 n)^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}=0$ ．
第40题证明题
40．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。
第53题未分类
53．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散．
第54题未分类
54．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．