级数的基本性质（线性、添加有限项不改变敛散性）
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第1题证明题
1．证明下列级数收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．
第4题求解题
4．求解下列问题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{1} \neq 0$ ，公比为 $\displaystyle q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{1} \neq 0$ ，公比为 $\displaystyle q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
第8题计算题
8．已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ，计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第9题证明题
9．证明下列等式．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
第12题未分类
12．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 对任何 $\displaystyle x \in(0,2 \pi)$都收敛．（东华大学 2005（ $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, x=1$ ），东南大学 $\displaystyle 1996\left(a_{n}=\frac{1}{\ln n}, x=1\right)$ ，浙江师大 2013（ $\displaystyle \left.a_{n}=\frac{1}{n^{p}}, x=1\right)$ ，复旦大学 1997
第15题讨论/判定题
15．正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a_{n}}\right)^{n}$ 的敛散性．
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调增加且有界的，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \neq 0$ 。（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n+1}\right|$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right|$ 同敛散；（2）$\displaystyle l=1$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 的敛散性（给出证明）．
（3）设 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant 1, n \geqslant 1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right|, n \geqslant 2$ 。证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛；数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调增加且有界的，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \neq 0$ 。（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n+1}\right|$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right|$ 同敛散；（2）$\displaystyle l=1$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 的敛散性（给出证明）．
（3）设 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant 1, n \geqslant 1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right|, n \geqslant 2$ 。证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛；数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
第23题计算题
23．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ ．（中山大学 $\displaystyle 2011(a>0)$ ，温州大学 2012，武汉大学 2004，湖北大学 2011，重庆大学2004（a $\displaystyle >1$ ））
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ ．（中山大学 $\displaystyle 2011(a>0)$ ，温州大学 2012，武汉大学 2004，湖北大学 2011，重庆大学2004（a $\displaystyle >1$ ））
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}\right)$ ．
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设正项级数．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$ 是收敛的．
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}$ 是收敛的．
（1）设正项级数．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$ 是收敛的．
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}$ 是收敛的．
第25题证明题
25．证明下列结论．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
第26题证明题
26．若存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n$ ，有 $\displaystyle A_{n}=\left|x_{n}-x_{n-1}\right|+\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|+\cdots+\left|x_{2}-x_{1}\right| \leqslant M$ ，则称 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$为有界变差。证明：数列 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 也收玫。
第27题证明题
27．证明下列命题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $\displaystyle a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）
（1）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $\displaystyle a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）
第29题证明题
29．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(a>0), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a>0, x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}>0, a>0, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(a>0), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a>0, x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}>0, a>0, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ．
第29题证明题
29．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的和；（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{5} x \mathrm{~d} x$ ；（3）证明： $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}<a_{n}<\frac{1}{2(n-1)}$ ；（4）设 $\displaystyle \lambda>0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛．
第30题证明题
30．证明下列结论并求极限．
（1）已知 $\displaystyle 0<c<1, x_{1}=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}-1\right)$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}, x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} x_{n}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=-1, x_{n+1}=x_{1}+\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots, A=\sqrt{2}-1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-A\right)$ 绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle a>0,0<x_{1}<a, x_{n+1}=x_{n}\left(2-\frac{x_{n}}{a}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,0<\alpha<1, x_{n+1}=1-\left(1-x_{n}\right)^{a}, n \geqslant 1$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ．
（7）设 $\displaystyle a>-4, x_{1}=\frac{a}{2}, x_{n}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2} x_{n-1}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，试讨论数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的敛散性．
（1）已知 $\displaystyle 0<c<1, x_{1}=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}-1\right)$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}, x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} x_{n}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=-1, x_{n+1}=x_{1}+\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots, A=\sqrt{2}-1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-A\right)$ 绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle a>0,0<x_{1}<a, x_{n+1}=x_{n}\left(2-\frac{x_{n}}{a}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,0<\alpha<1, x_{n+1}=1-\left(1-x_{n}\right)^{a}, n \geqslant 1$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ．
（7）设 $\displaystyle a>-4, x_{1}=\frac{a}{2}, x_{n}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2} x_{n-1}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，试讨论数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的敛散性．
第31题证明题
31．证明下列结论并求极限：
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
第32题证明题
32．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
第33题证明题
33．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, b>0, a_{1}=a, a_{2}=b, a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^{2}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。华东师大 2003）
（2）设 $\displaystyle x_{0} \in\left(1, \frac{3}{2}\right), x_{1}=x_{0}^{2}, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}+\frac{x_{n-1}}{2},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n}=2-\frac{1}{x_{n-1}^{2}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3\right)}{1+3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）设 $\displaystyle a>0, b>0, a_{1}=a, a_{2}=b, a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^{2}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。华东师大 2003）
（2）设 $\displaystyle x_{0} \in\left(1, \frac{3}{2}\right), x_{1}=x_{0}^{2}, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}+\frac{x_{n-1}}{2},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n}=2-\frac{1}{x_{n-1}^{2}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3\right)}{1+3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第34题计算题
34．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}, n=3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right), n=2,3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{3}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<\alpha<1,\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\alpha x_{n}+(1-\alpha) x_{n-1}, n=3,4, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是收敛的，用 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 表示 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, 0<a<b, x_{n+1}=\sqrt{x_{n} x_{n-1}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$.
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}, n=3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right), n=2,3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{3}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<\alpha<1,\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\alpha x_{n}+(1-\alpha) x_{n-1}, n=3,4, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是收敛的，用 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 表示 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, 0<a<b, x_{n+1}=\sqrt{x_{n} x_{n-1}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$.
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
第35题证明题
35．证明下列结论并求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\}$ 。（哈T．大 2004）
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-q a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle 0<q<1$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle y_{n}=x_{n-1}+2 x_{n}, n=2,3, \cdots$ 证明：$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$收敛．
（4）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两个有界数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}+2 a_{n}=2 b_{n}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}$ 也存在．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为正整数数列。令 $\displaystyle a_{1}=b_{1}=1, a_{n}+\sqrt{3} b_{n}=\left(a_{n-1}+\sqrt{3} b_{n-1}\right)^{2}$ ，证明：$\displaystyle \left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 收敛并求极限．
（6）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-\frac{n}{2 n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle a_{1}, b_{1}$ 为任意选定的实数，定义 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots, b_{n}=\int_{0}^{1} \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2-\sqrt{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\sqrt{2}-1$ ．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\}$ 。（哈T．大 2004）
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-q a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle 0<q<1$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle y_{n}=x_{n-1}+2 x_{n}, n=2,3, \cdots$ 证明：$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$收敛．
（4）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两个有界数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}+2 a_{n}=2 b_{n}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}$ 也存在．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为正整数数列。令 $\displaystyle a_{1}=b_{1}=1, a_{n}+\sqrt{3} b_{n}=\left(a_{n-1}+\sqrt{3} b_{n-1}\right)^{2}$ ，证明：$\displaystyle \left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 收敛并求极限．
（6）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-\frac{n}{2 n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle a_{1}, b_{1}$ 为任意选定的实数，定义 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots, b_{n}=\int_{0}^{1} \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2-\sqrt{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\sqrt{2}-1$ ．
第35题未分类
35．设 $\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n} a_{k} \pi^{k}\right| \leqslant 2009, n=1,2, \cdots$ ，证 明：当 $\displaystyle x \in(0, \pi)$ 时，$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 收 敛，且 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \in[-2009,2009]$ ．（哈 工 大 2009）
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
第38题证明题
38．证明下列结论并求极限．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
第38题证明题
38．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．
第45题求解题
45．已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
第46题证明题
46．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，且成立不等式 $\displaystyle a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 也收敛。若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 一定发散吗？
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的玫散性一定相同吗？举例说明．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为正实数列，且对一切自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ ，证明：如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散．
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle u_{n}>0, \frac{u_{n-1}}{u_{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}, n=1,2, \cdots$
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n^{2}},(n \geqslant 1), M$ 为常数，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛；（2）若把条件改为 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 时，结论是否成立？
（6）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是正项级数，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-a_{n+1}\right)>0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，且成立不等式 $\displaystyle a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 也收敛。若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 一定发散吗？
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的玫散性一定相同吗？举例说明．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为正实数列，且对一切自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ ，证明：如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散．
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle u_{n}>0, \frac{u_{n-1}}{u_{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}, n=1,2, \cdots$
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n^{2}},(n \geqslant 1), M$ 为常数，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛；（2）若把条件改为 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 时，结论是否成立？
（6）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是正项级数，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-a_{n+1}\right)>0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．
第47题证明题
47．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．
第49题证明题
49．证明或判断下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\displaystyle \alpha$ 及正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\displaystyle \alpha$ 及正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．
第51题求解题
51．求下列级数的和．
（1）设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．
第52题证明题
52．对级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ，设 $\displaystyle a_{n}^{+}=\frac{\left|a_{n}\right|+a_{n}}{2}, a_{n}^{-}=\frac{\left|a_{n}\right|-a_{n}}{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$绝对收敛；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$都发散到正无穷大。