绝对值不等式
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第1题证明题
1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{2}{3}$ ．
第1题证明题
1．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
第2题证明题
2．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。
第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．
第4题证明题
4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 和 $\displaystyle M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 均为有限数，证明：
（1）$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M_{0}}{h}+\frac{h}{2} M_{2}$ 对任何 $\displaystyle h>0, x \in(0,+\infty)$ 均成立；
（2）$\displaystyle M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 也是有限数，并且满足不等式 $\displaystyle M_{1} \leqslant 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ；
（3）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内二阶可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 不存在。证明：存在 $\displaystyle x_{0}>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|>1$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 和 $\displaystyle M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 均为有限数，证明：
（1）$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M_{0}}{h}+\frac{h}{2} M_{2}$ 对任何 $\displaystyle h>0, x \in(0,+\infty)$ 均成立；
（2）$\displaystyle M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 也是有限数，并且满足不等式 $\displaystyle M_{1} \leqslant 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ；
（3）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内二阶可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 不存在。证明：存在 $\displaystyle x_{0}>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|>1$ 。
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）
第27题证明题
27．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且对每一个 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ 。（浙江大学 2005 ，南开大学 2008 ，深圳大学 2004 ，扬州大学 2011 ，江苏大学 $\displaystyle 2007 / 2012$ ，西北大学 2004 ，沈阳工大 2009 ，苏州科技 2008 ，哈工大 2004 ，华东理工 2002 ，首都师大 2012$\displaystyle )$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任 何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle z \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant z|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，对任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ 使 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \lambda|f(x)|$ ．则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且对每一个 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ 。（浙江大学 2005 ，南开大学 2008 ，深圳大学 2004 ，扬州大学 2011 ，江苏大学 $\displaystyle 2007 / 2012$ ，西北大学 2004 ，沈阳工大 2009 ，苏州科技 2008 ，哈工大 2004 ，华东理工 2002 ，首都师大 2012$\displaystyle )$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任 何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle z \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant z|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，对任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ 使 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \lambda|f(x)|$ ．则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有零点．