绝对值及其性质
按知识点浏览 · 共 4 题
第1题证明题
1．试用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明下列结论．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $\displaystyle x_{0}>0$ 处的连续性．
（2）$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \infty)$ 内连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $\displaystyle x_{0}>0$ 处的连续性．
（2）$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \infty)$ 内连续．
第5题证明题
5．举例或证明你的结论．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．