绝对收敛与条件收敛
按知识点浏览 · 共 27 题
第2题讨论/判定题
2．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
第4题求解题
4．求解下列问题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{1} \neq 0$ ，公比为 $\displaystyle q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{1} \neq 0$ ，公比为 $\displaystyle q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
第5题证明题
5．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 都绝对收敛，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非绝对一致收敛。
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上非一致收敛．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的收敛性和一致收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 都绝对收敛，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非绝对一致收敛。
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上非一致收敛．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的收敛性和一致收敛性．
第6题证明题
6．证明下列级数条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
第8题未分类
8．判断下列级数的玫散性和绝对收玫性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
第9题证明题
9．证明下列结论．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。但对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{4}}$ 关于 $\displaystyle x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。但对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{4}}$ 关于 $\displaystyle x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．
第10题讨论/判定题
10．讨论下列级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
第10题证明题
10．证明下列结论．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在任何有限区间上一致收敛，但在任何一点上都不绝对收玫．
（2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 在任何有穷区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，但在任何一点 $\displaystyle x_{0}$ 处不绝对收敛．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在任何有限区间上一致收敛，但在任何一点上都不绝对收玫．
（2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 在任何有穷区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，但在任何一点 $\displaystyle x_{0}$ 处不绝对收敛．
第11题讨论/判定题
11．讨论下列级数的玫散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
第13题讨论/判定题
13．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛？
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
第16题证明题
16．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 的玫散性．
（4）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收玫 $\displaystyle \left(a_{n}>0\right)$ 。
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 的玫散性．
（4）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收玫 $\displaystyle \left(a_{n}>0\right)$ 。
第17题证明题
17．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．
第18题证明题
18．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．（南京大学 2006，上海大学 2003（ $\displaystyle \alpha=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} f\left(\frac{x}{n}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x . \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负， $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} g(x) \mathrm{d} x=\alpha$（ $\displaystyle \alpha$ 为有限数），又 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} t^{-1} g\left(t^{-1} x\right) f(x) \mathrm{d} x=\alpha f(0)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(0)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．（南京大学 2006，上海大学 2003（ $\displaystyle \alpha=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} f\left(\frac{x}{n}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x . \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负， $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} g(x) \mathrm{d} x=\alpha$（ $\displaystyle \alpha$ 为有限数），又 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} t^{-1} g\left(t^{-1} x\right) f(x) \mathrm{d} x=\alpha f(0)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(0)$ ．
第18题证明题
18．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 有界，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫．（曲阜师大 2005／2011（ $\displaystyle k=2$ ），桂林电子科技 2009）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|n a_{n}\right|=a(>0)$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。能否确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性？说明理由．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是数项级数，证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0,\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛，试问若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收
敛，结论仍成立吗？
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 有界，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫．（曲阜师大 2005／2011（ $\displaystyle k=2$ ），桂林电子科技 2009）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|n a_{n}\right|=a(>0)$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。能否确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性？说明理由．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是数项级数，证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0,\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛，试问若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收
敛，结论仍成立吗？
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）证明：若 三角级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 中的系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 满足关系： $\displaystyle \max _{0<n<\infty}\left\{n^{3} a_{n}, n^{3} b_{n}\right\} \leqslant M, M$ 为常数，则上述三角级数收玫，且其和函数具有连续的导函数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，$\displaystyle a_{n}, b_{n},(n=0,1, \cdots)$ 为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数，证明：
$$
\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 可积，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶系数，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
（1）证明：若 三角级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 中的系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 满足关系： $\displaystyle \max _{0<n<\infty}\left\{n^{3} a_{n}, n^{3} b_{n}\right\} \leqslant M, M$ 为常数，则上述三角级数收玫，且其和函数具有连续的导函数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，$\displaystyle a_{n}, b_{n},(n=0,1, \cdots)$ 为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数，证明：
$$
\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 可积，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶系数，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
第25题证明题
25．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\cdots+\frac{\sin n}{2^{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（3）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\cos 1}{\mathrm{e}}+\frac{\cos 2}{\mathrm{e}^{2}}+\cdots+\frac{\cos n}{\mathrm{e}^{n}}$ ，按提示思路利用三种不同的方法证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
提示：I 利用 cauchy 准则；II 利用绝对收敛和收敛的关系；III 利用 dirichlet 判别法；IV 其他方法。
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散。
（6）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（1）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\cdots+\frac{\sin n}{2^{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（3）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\cos 1}{\mathrm{e}}+\frac{\cos 2}{\mathrm{e}^{2}}+\cdots+\frac{\cos n}{\mathrm{e}^{n}}$ ，按提示思路利用三种不同的方法证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
提示：I 利用 cauchy 准则；II 利用绝对收敛和收敛的关系；III 利用 dirichlet 判别法；IV 其他方法。
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散。
（6）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
第25题证明题
25．证明下列结论．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
第26题证明题
26．若存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n$ ，有 $\displaystyle A_{n}=\left|x_{n}-x_{n-1}\right|+\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|+\cdots+\left|x_{2}-x_{1}\right| \leqslant M$ ，则称 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$为有界变差。证明：数列 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 也收玫。
第27题证明题
27．证明下列命题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $\displaystyle a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）
（1）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $\displaystyle a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）
第29题未分类
29．若瑕积分 $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（ $\displaystyle a$ 是㻓点），那么 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。并举例说明命题的逆不成立．
第33题证明题
33．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, b>0, a_{1}=a, a_{2}=b, a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^{2}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。华东师大 2003）
（2）设 $\displaystyle x_{0} \in\left(1, \frac{3}{2}\right), x_{1}=x_{0}^{2}, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}+\frac{x_{n-1}}{2},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n}=2-\frac{1}{x_{n-1}^{2}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3\right)}{1+3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）设 $\displaystyle a>0, b>0, a_{1}=a, a_{2}=b, a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^{2}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。华东师大 2003）
（2）设 $\displaystyle x_{0} \in\left(1, \frac{3}{2}\right), x_{1}=x_{0}^{2}, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}+\frac{x_{n-1}}{2},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n}=2-\frac{1}{x_{n-1}^{2}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3\right)}{1+3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第35题证明题
35．证明下列结论并求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\}$ 。（哈T．大 2004）
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-q a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle 0<q<1$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle y_{n}=x_{n-1}+2 x_{n}, n=2,3, \cdots$ 证明：$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$收敛．
（4）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两个有界数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}+2 a_{n}=2 b_{n}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}$ 也存在．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为正整数数列。令 $\displaystyle a_{1}=b_{1}=1, a_{n}+\sqrt{3} b_{n}=\left(a_{n-1}+\sqrt{3} b_{n-1}\right)^{2}$ ，证明：$\displaystyle \left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 收敛并求极限．
（6）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-\frac{n}{2 n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle a_{1}, b_{1}$ 为任意选定的实数，定义 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots, b_{n}=\int_{0}^{1} \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2-\sqrt{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\sqrt{2}-1$ ．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\}$ 。（哈T．大 2004）
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-q a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle 0<q<1$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle y_{n}=x_{n-1}+2 x_{n}, n=2,3, \cdots$ 证明：$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$收敛．
（4）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两个有界数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}+2 a_{n}=2 b_{n}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}$ 也存在．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为正整数数列。令 $\displaystyle a_{1}=b_{1}=1, a_{n}+\sqrt{3} b_{n}=\left(a_{n-1}+\sqrt{3} b_{n-1}\right)^{2}$ ，证明：$\displaystyle \left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 收敛并求极限．
（6）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-\frac{n}{2 n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle a_{1}, b_{1}$ 为任意选定的实数，定义 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots, b_{n}=\int_{0}^{1} \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2-\sqrt{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\sqrt{2}-1$ ．
第35题未分类
35．判断题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的㻓积分均存在，则乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的瑕积分 必存在。
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的㻓积分均存在，则乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的瑕积分 必存在。
第45题求解题
45．已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
第52题证明题
52．对级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ，设 $\displaystyle a_{n}^{+}=\frac{\left|a_{n}\right|+a_{n}}{2}, a_{n}^{-}=\frac{\left|a_{n}\right|-a_{n}}{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$绝对收敛；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$都发散到正无穷大。
第54题未分类
54．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
第54题未分类
54．判断题．
（1）函数序列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}, x \in[a, b]$ ，满足对任意的自然数 $\displaystyle p$ 和任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有以下性质： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}(x)-u_{n+p}(x)\right|=0$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 一致收玫．
（1）函数序列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}, x \in[a, b]$ ，满足对任意的自然数 $\displaystyle p$ 和任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有以下性质： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}(x)-u_{n+p}(x)\right|=0$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 一致收玫．